Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: AF.AB=AE.AC và ˆAEF=ˆABC b) Chứng minh: EB là tia phân giác của góc ˆDEF c) Gọi giao điểm của AD và EF là K. Chứng minh...

Ngọc Trần

a) Chứng minh: AF.AB = AE.AC và ∠AEF = ∠ABC

• Xét tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
• Từ định lý về các đường cao và sự đồng tâm của các đường cao, ta có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh mối quan hệ AF.AB = AE.AC.
• Từ tam giác vuông AHF và AHE, áp dụng định lý sin và cos sẽ giúp chúng ta chứng minh rằng AF.AB = AE.AC.
• Về góc ∠AEF và ∠ABC, ta có thể sử dụng tính chất các góc trong tam giác vuông (do các đường cao vuông góc với các cạnh) và tính chất của góc tạo thành giữa đường phân giác và cạnh.

b) Chứng minh: EB là tia phân giác của góc ∠DEF

• Xét tam giác DEF, trong đó các đường cao BE, AD cắt nhau tại H. Ta cần chứng minh rằng EB là tia phân giác của góc ∠DEF.
• Để chứng minh, ta áp dụng định lý phân giác trong tam giác, tức là tia phân giác sẽ chia góc thành hai phần bằng nhau và có tỷ lệ đoạn thẳng đối diện hai góc.
• Việc áp dụng định lý này trong tam giác DEF giúp chúng ta chứng minh rằng EB là tia phân giác.

c) Chứng minh: AK.HD = HK .AD

• Gọi K là giao điểm của AD và EF. Ta cần chứng minh rằng AK.HD = HK.AD.
• Để chứng minh điều này, ta sử dụng định lý đồng dạng hoặc tỉ lệ trong tam giác vuông, cũng như tính chất các đoạn thẳng trong tam giác khi có các đường cao và phân giác.
• Cụ thể, sử dụng hệ thức đoạn thẳng cắt nhau trong tam giác vuông (hoặc định lý về tỉ lệ đoạn thẳng cắt nhau tại các điểm đặc biệt) sẽ giúp chứng minh tỉ lệ đoạn thẳng AK.HD = HK.AD.