giải các bài tập

Câu 1. Ta có: \[ \int_{1}^{6} f(x) \, dx = F(6) - F(1) \] Mặt khác, ta biết rằng: \[ F(5) = 2 + F(1) \] Do đó: \[ F(5) - F(1) = 2 \] Ta cũng có: \[ \int_{1}^{6} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{6} f(x) \, dx \] \[ = [F(5) - F(1)] + [F(6) - F(5)] \] \[ = 2 + [F(6) - F(5)] \] Nhưng ta cũng biết rằng: \[ F(6) - F(5) = \int_{5}^{6} f(x) \, dx \] Do đó: \[ \int_{1}^{6} f(x) \, dx = 2 + \int_{5}^{6} f(x) \, dx \] Từ đây, ta thấy rằng: \[ \int_{1}^{6} f(x) \, dx = 2 + [F(6) - F(5)] \] Vì vậy, ta có: \[ \int_{1}^{6} f(x) \, dx = 2 + [F(6) - (2 + F(1))] \] \[ = 2 + F(6) - 2 - F(1) \] \[ = F(6) - F(1) \] Như vậy: \[ \int_{1}^{6} f(x) \, dx = 2 \] Đáp án đúng là: B. 2. Câu 2. Để kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Thay tọa độ điểm $P(-1;1;1)$ vào phương trình mặt phẳng: \[ 3(-1) - 1 + 1 + 3 = -3 - 1 + 1 + 3 = 0 \] Phương trình thỏa mãn, vậy điểm $P$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. B. Thay tọa độ điểm $N(0;-2;1)$ vào phương trình mặt phẳng: \[ 3(0) - (-2) + 1 + 3 = 0 + 2 + 1 + 3 = 6 \neq 0 \] Phương trình không thỏa mãn, vậy điểm $N$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. C. Thay tọa độ điểm $Q(-1;0;1)$ vào phương trình mặt phẳng: \[ 3(-1) - 0 + 1 + 3 = -3 + 0 + 1 + 3 = 1 \neq 0 \] Phương trình không thỏa mãn, vậy điểm $Q$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. D. Thay tọa độ điểm $M(-1;-1;1)$ vào phương trình mặt phẳng: \[ 3(-1) - (-1) + 1 + 3 = -3 + 1 + 1 + 3 = 2 \neq 0 \] Phương trình không thỏa mãn, vậy điểm $M$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. Vậy điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ là điểm $P(-1;1;1)$. Đáp án đúng là: A. Điểm $P(-1;1;1)$. Câu 3. Để giải bất phương trình $(\frac{2}{3})^{x-1} > (\frac{2}{3})^{-x+3}$, ta sẽ áp dụng các tính chất của hàm mũ. Bước 1: Xác định hàm số cơ sở Hàm số cơ sở là $f(t) = (\frac{2}{3})^t$. Đây là hàm số mũ với cơ số $\frac{2}{3}$, nhỏ hơn 1. Do đó, hàm số này nghịch biến trên tập số thực. Bước 2: So sánh các mũ Vì hàm số mũ nghịch biến khi cơ số nhỏ hơn 1, nên ta có: $(\frac{2}{3})^{x-1} > (\frac{2}{3})^{-x+3}$ suy ra $x - 1 < -x + 3$ Bước 3: Giải bất phương trình Giải bất phương trình $x - 1 < -x + 3$: $x + x < 3 + 1$ $2x < 4$ $x < 2$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty; 2)$. Đáp án đúng là: B. $(-\infty; 2)$. Câu 4. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -1$, hàm số giảm dần. - Tại điểm $x = -1$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $f(-1) = -2$. - Khi $x$ tăng từ $x = -1$ đến $x = 1$, hàm số tăng dần. - Tại điểm $x = 1$, hàm số đạt giá trị cực đại là $f(1) = 3$. - Khi $x$ tăng từ $x = 1$ đến $+\infty$, hàm số giảm dần. Do đó, giá trị cực đại của hàm số là 3, đạt được khi $x = 1$. Vậy đáp án đúng là: B. 3. Câu 5. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(2; -1; 3) \) và nhận vectơ \( \overrightarrow{u} = (3; -2; -5) \) làm một vectơ chỉ phương được viết dưới dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t \\ y = -1 - 2t \\ z = 3 - 5t \end{array} \right. \] Ta thấy rằng phương án đúng là: B. \( \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t \\ y = -1 - 2t \\ z = 3 - 5t \end{array} \right. \) Đáp án: B. Câu 6. Để tính giá trị của $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức nhân vô hướng của hai vectơ trong không gian Oxyz. Công thức nhân vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)$ và $\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)$ là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \] Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \overrightarrow{a} = (-1, 0, 2) \] \[ \overrightarrow{b} = (2, 3, -2) \] Thay vào công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) \] Tính từng phần: \[ (-1) \cdot 2 = -2 \] \[ 0 \cdot 3 = 0 \] \[ 2 \cdot (-2) = -4 \] Cộng lại: \[ -2 + 0 - 4 = -6 \] Vậy giá trị của $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ là -6. Đáp án đúng là: C. -6. Câu 7. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( F(x) = \sin x - x \), ta cần tìm hàm số \( f(x) \) sao cho \( F'(x) = f(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F(x) = \sin x - x \] \[ F'(x) = (\sin x)' - (x)' \] \[ F'(x) = \cos x - 1 \] Bước 2: So sánh với các đáp án: A. \( f(x) = -\cos x - 1 \) B. \( h(x) = -\cos x - \frac{x^2}{2} + C \) C. \( k(x) = \cos x - \frac{x^2}{2} + C \) D. \( g(x) = \cos x - 1 \) Nhận thấy rằng \( F'(x) = \cos x - 1 \), do đó đáp án đúng là: D. \( g(x) = \cos x - 1 \) Đáp án: D. \( g(x) = \cos x - 1 \)