Giải bài tập trong ảnh thật chính xác

Câu 21 Để tính giá trị của biểu thức \( A = \sqrt{12} + 5\sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{3}} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn các căn bậc hai: - \( \sqrt{12} \): \[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] - \( \sqrt{\frac{1}{3}} \): \[ \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] 2. Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức: \[ A = 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \] 3. Quy đồng và cộng trừ các căn bậc hai: - Quy đồng các số hạng có chứa \( \sqrt{3} \): \[ 2\sqrt{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3}, \quad 5\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3}}{3} \] - Biểu thức trở thành: \[ A = \frac{6\sqrt{3}}{3} + \frac{15\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \] - Cộng trừ các phân số: \[ A = \frac{6\sqrt{3} + 15\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} = \frac{(6 + 15 - 1)\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ A = \frac{20\sqrt{3}}{3} \] Câu 22 Để rút gọn biểu thức $B = \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 9}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Nhận xét: Ta thấy mẫu số $x - 9$ có dạng hiệu hai bình phương, cụ thể là $(\sqrt{x})^2 - 3^2$. Do đó, ta có thể sử dụng hằng đẳng thức $(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$ để phân tích mẫu số. 2. Phân tích mẫu số: \[ x - 9 = (\sqrt{x})^2 - 3^2 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) \] 3. Thay vào biểu thức: \[ B = \frac{2\sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] 4. Nhận xét: Ta thấy tử số $2\sqrt{x} - 6$ có thể viết lại thành $2(\sqrt{x} - 3)$. 5. Thay vào biểu thức: \[ B = \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] 6. Rút gọn biểu thức: \[ B = \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{2}{\sqrt{x} + 3} \] Vậy biểu thức đã được rút gọn là: \[ B = \frac{2}{\sqrt{x} + 3} \] Câu 23 Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}l2x-3y=5\\3x+2y=1\end{array}\right.$, ta sẽ sử dụng phương pháp cộng trừ để loại bỏ một trong hai ẩn số. Bước 1: Nhân phương trình đầu tiên với 3 và nhân phương trình thứ hai với 2 để chuẩn bị cho việc cộng trừ: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3(2x - 3y) = 3 \cdot 5 \\ 2(3x + 2y) = 2 \cdot 1 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 6x - 9y = 15 \\ 6x + 4y = 2 \end{array} \right. \] Bước 2: Trừ phương trình thứ hai từ phương trình đầu tiên để loại bỏ biến \(x\): \[ (6x - 9y) - (6x + 4y) = 15 - 2 \] \[ 6x - 9y - 6x - 4y = 13 \] \[ -13y = 13 \] \[ y = -1 \] Bước 3: Thay giá trị \(y = -1\) vào phương trình đầu tiên để tìm giá trị của \(x\): \[ 2x - 3(-1) = 5 \] \[ 2x + 3 = 5 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(x = 1\) và \(y = -1\). Đáp số: \(x = 1\), \(y = -1\). Câu 24 Để giải phương trình bậc hai $3x^2 + 5x + 2 = 0$, ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Bước 1: Xác định các hệ số của phương trình: - $a = 3$ - $b = 5$ - $c = 2$ Bước 2: Tính delta ($\Delta$): \[ \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị của delta: - $\Delta = 1 > 0$, nên phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Bước 4: Tính các nghiệm của phương trình: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 1}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 1}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình $3x^2 + 5x + 2 = 0$ là: \[ x_1 = -\frac{2}{3}, \quad x_2 = -1 \] Câu 25 Điều kiện xác định: $m \neq \frac{1}{2}$. Theo bài ra ta có: $x^2_1+x^2_2+3x_1.x_2=0$ $\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2+x_1.x_2=0$ Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $(2m-1)^2-2m-1=0$ $\Leftrightarrow 4m^2-6m=0$ $\Leftrightarrow m(2m-3)=0$ $\Rightarrow m=0$ hoặc $m=\frac{3}{2}$ Vậy $m=0$ hoặc $m=\frac{3}{2}$ thỏa mãn đề bài. Câu 26 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số $y=\frac32x^2$ - Lập bảng giá trị: | x | y | |---|---| | -2 | 6 | | -1 | $\frac32$ | | 0 | 0 | | 1 | $\frac32$ | | 2 | 6 | - Vẽ các điểm (-2, 6), (-1, $\frac32$), (0, 0), (1, $\frac32$), (2, 6) trên mặt phẳng tọa độ. - Kết nối các điểm này để vẽ đồ thị (P) của hàm số. b) Tìm những điểm thuộc (P) có tổng hoành độ và tung độ bằng $\frac52$. Gọi điểm cần tìm là $(x, y)$, ta có: \[ x + y = \frac52 \] Thay $y = \frac32x^2$ vào phương trình trên: \[ x + \frac32x^2 = \frac52 \] \[ 2x + 3x^2 = 5 \] \[ 3x^2 + 2x - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} = \frac{-2 \pm 8}{6} \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac53 \] Tìm tung độ tương ứng: - Khi $x = 1$, $y = \frac32(1)^2 = \frac32$. - Khi $x = -\frac53$, $y = \frac32\left(-\frac53\right)^2 = \frac{25}{6}$. Vậy các điểm cần tìm là $(1, \frac32)$ và $\left(-\frac53, \frac{25}{6}\right)$. Câu 27. Để chứng minh rằng $\frac{a^4+b^4}{2} \geq ab^3 + a^3b - a^2b^2$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số $(a^2, b^2)$: \[ a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2 \] Bước 2: Ta cần chứng minh rằng: \[ \frac{a^4 + b^4}{2} \geq ab^3 + a^3b - a^2b^2 \] Bước 3: Nhân cả hai vế của bất đẳng thức ở Bước 1 với $\frac{1}{2}$: \[ \frac{a^4 + b^4}{2} \geq a^2b^2 \] Bước 4: Ta cần chứng minh rằng: \[ a^2b^2 \geq ab^3 + a^3b - a^2b^2 \] Bước 5: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ a^2b^2 - ab^3 - a^3b + a^2b^2 \geq 0 \] \[ 2a^2b^2 - ab^3 - a^3b \geq 0 \] Bước 6: Nhóm các hạng tử lại: \[ a^2b^2 - ab^3 - a^3b + a^2b^2 = a^2b(b - a) - ab^2(a - b) \] \[ = a^2b(b - a) + ab^2(b - a) \] \[ = ab(b - a)(a + b) \] Bước 7: Ta thấy rằng: \[ ab(b - a)(a + b) \geq 0 \] Vì $ab \geq 0$ (vì $a$ và $b$ đều là số thực), $(b - a)$ và $(a + b)$ cũng là các số thực, nên tích của chúng sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó, ta đã chứng minh được: \[ \frac{a^4 + b^4}{2} \geq ab^3 + a^3b - a^2b^2 \] Đáp số: Đã chứng minh. Câu 28. a/ Ta có $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^\circ$ nên tứ giác BEFC nội tiếp (cùng chắn cung BC). b/ Ta có $\widehat{BAK}=\widehat{BCK}$ (cùng chắn cung BK) và $\widehat{BAK}=\widehat{CBF}$ (giao của đường cao hạ từ đỉnh B và C) nên $\widehat{CBF}=\widehat{BCK}$. Do đó tam giác BCF cân tại B, suy ra $\widehat{BFC}=\widehat{BCF}=90^\circ$. Từ đó ta có $\widehat{BFH}=\widehat{CFH}=90^\circ$, suy ra HK vuông góc với BC tại F. Mặt khác, ta có $\widehat{BKH}=\widehat{BCH}$ (cùng chắn cung BH) và $\widehat{BCH}=\widehat{CBF}$ (giao của đường cao hạ từ đỉnh B và C) nên $\widehat{BKH}=\widehat{CBF}$. Do đó tam giác BKF cân tại B, suy ra $\widehat{BFK}=\widehat{BKF}=90^\circ$. Từ đó ta có $\widehat{BFH}=\widehat{CFH}=90^\circ$, suy ra HK vuông góc với BC tại F. Vậy BC là đường trung trực của HK. c/ Ta có $\widehat{IFC}=\widehat{IBC}$ (giao của đường cao hạ từ đỉnh B và C) và $\widehat{IBC}=\widehat{IEC}$ (cùng chắn cung IC) nên $\widehat{IFC}=\widehat{IEC}$. Do đó tứ giác IECF nội tiếp, suy ra $\widehat{IFE}+\widehat{ICE}=180^\circ$. Mặt khác, ta có $\widehat{ICE}=\widehat{IBE}$ (cùng chắn cung IE) và $\widehat{IBE}=\widehat{IBE}$ (giao của đường cao hạ từ đỉnh B và C) nên $\widehat{ICE}=\widehat{IBE}$. Do đó $\widehat{IFE}+\widehat{IBE}=180^\circ$, suy ra $\widehat{IFE}=90^\circ$. Vậy IF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC.