Giúp mình với!

Bài 1. a) Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$, nên $AB = AC$. Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACF$: - $AB = AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$) - $\angle ABE = \angle ACF$ (vì $\angle BAC$ chung và $\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$) - $\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ Do đó, $\Delta ABE \cong \Delta ACF$ (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra $BE = CF$ (hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng) b) Ta đã chứng minh $BE = CF$. Xét $\Delta HBE$ và $\Delta HCF$: - $BE = CF$ (chứng minh ở phần a) - $\angle HBE = \angle HCF$ (vì $\angle BAC$ chung và $\angle EHB = \angle FHC = 90^\circ$) - $\angle EHB = \angle FHC = 90^\circ$ Do đó, $\Delta HBE \cong \Delta HCF$ (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra $HE = HF$ (hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng) Vậy $\Delta HEF$ cân tại $H$. c) Ta có $BE = CF$ và $HE = HF$ (chứng minh ở phần b). Xét $\Delta EBF$ và $\Delta CFE$: - $BE = CF$ (chứng minh ở phần a) - $HE = HF$ (chứng minh ở phần b) - $\angle EBF = \angle CFE$ (vì $\angle BAC$ chung và $\angle EFB = \angle CEF = 90^\circ$) Do đó, $\Delta EBF \cong \Delta CFE$ (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra $\angle BEF = \angle CFE$ (hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng) Vậy $EF // BC$ (vì hai góc so le trong bằng nhau). d) Ta có $\Delta HEF$ cân tại $H$, nên $AH$ là đường cao hạ từ đỉnh $H$ xuống đáy $EF$. Vậy $AH \perp EF$. Đáp số: a) $BE = CF$ b) $\Delta HEF$ cân tại $H$ c) $EF // BC$ d) $AH \perp EF$ Bài 2. a) Ta có $AB=AC$ (gt) $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$ (M,N là trung điểm của AB,AC) Nên $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ Suy ra $\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC}$ Mà $\widehat{BAC}$ chung Nên $\Delta AMN=\Delta ABC$ (cạnh kề 2 góc bằng) Suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ (2 góc tương ứng) Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (AB=AC) Nên $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên MN // BC Mà D,E là trung điểm của BD,DE nên $ED=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}MN$ Nên E là trung điểm của MN Ta có $BD=DE=\frac{1}{3}BC$ (gt) $AM=AN=\frac{1}{2}AB$ (M,N là trung điểm của AB,AC) Nên $\frac{BD}{DE}=\frac{AM}{AN}=2$ Mà $\widehat{BDA}=\widehat{NDE}$ (2 góc đối đỉnh) Nên $\Delta ABD=\Delta AND$ (cặp canh tỉ lệ và góc giữa chúng bằng nhau) Suy ra $AD=DN$ (2 cạnh tương ứng) Mà E là trung điểm của MN nên $ED=\frac{1}{2}MN$ Nên $ED=DM$ Từ đó ta có $\Delta MED$ cân tại D Suy ra $ME=ND$ b) Ta có $ME=ND$ (chứng minh trên) $ED=ED$ (cạnh chung) $\widehat{MED}=\widehat{NDE}$ (2 góc ở vị trí so le trong) Nên $\Delta MED=\Delta NDE$ (cạnh kề 2 góc bằng) Suy ra $ID=IE$ (2 cạnh tương ứng) Nên $\Delta IDE$ cân tại I c) Ta có $\Delta IDE$ cân tại I (chứng minh trên) Nên $\widehat{IDE}=\widehat{IED}$ (2 góc đáy) Mà $\widehat{IDE}+\widehat{IED}=\widehat{NDE}$ (2 góc kề bù) Nên $\widehat{IDE}=\widehat{IED}=\frac{1}{2}\widehat{NDE}$ Mà $\widehat{NDE}=\widehat{MED}$ (2 góc ở vị trí so le trong) Nên $\widehat{IDE}=\widehat{IED}=\frac{1}{2}\widehat{MED}$ Mà $\widehat{AID}+\widehat{IDE}=\widehat{MED}$ (2 góc kề bù) Nên $\widehat{AID}+\widehat{IDE}=\widehat{MED}$ Suy ra $\widehat{AID}+\frac{1}{2}\widehat{MED}=\widehat{MED}$ Suy ra $\widehat{AID}=\frac{1}{2}\widehat{MED}$ Mà $\widehat{AID}+\widehat{IDE}=180^{\circ}$ (2 góc kề bù) Nên $\frac{1}{2}\widehat{MED}+\frac{1}{2}\widehat{MED}=180^{\circ}$ Suy ra $\widehat{MED}=180^{\circ}$ Mà $\widehat{AID}+\widehat{IDE}=180^{\circ}$ (2 góc kề bù) Nên $\widehat{AID}+\widehat{AID}=180^{\circ}$ Suy ra $\widehat{AID}=90^{\circ}$ Nên $AI\bot BC$ Bài 3. a) Ta có $\widehat{B}=60^0$ (vì tổng các góc trong tam giác ABC bằng $180^0$) Mà $HD=HB$ nên tam giác DHB cân tại D. Suy ra $\widehat{HDB}=\widehat{B}=60^0$ Do đó tam giác ABD đều (góc B và D đều bằng $60^0$) b) Ta có $\widehat{AHC}=\widehat{CAE}=90^0-\widehat{C}=60^0$ (góc phụ) Mà $\widehat{HAE}=\widehat{CAD}=60^0$ (góc phụ) Suy ra $\widehat{HAD}=\widehat{CAE}$ Ta có tam giác ABD đều nên $AB=AD$ Xét tam giác HAB và tam giác EAC có: $\widehat{HAB}=\widehat{EAC}$ (góc bù) $AB=AD$ (chứng minh trên) $\widehat{HBA}=\widehat{ACE}=60^0$ (chứng minh trên) Nên tam giác HAB = tam giác EAC (cạnh kề 2 góc) Suy ra $AH=CE$ (2 cạnh tương ứng) c) Ta có $\widehat{AHE}=\widehat{CAE}$ (2 góc nội so le trong) Suy ra EH // AC (2 góc nội so le trong bằng nhau) Bài 4. a) Ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}=45^{\circ}$. Mà $AH\bot BC$ nên $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^{\circ}$. Do đó $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$ là các tam giác vuông cân tại H. b) Ta có $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=45^{\circ}$ nên $\widehat{DAH}=\widehat{CAE}$. Mà $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^{\circ}$ nên $\widehat{ADH}=\widehat{CEH}$. Ta lại có $AD=CE$ nên $\Delta ADH=\Delta CEH(c-a-c)$. c) Từ $\Delta ADH=\Delta CEH$ ta có $DH=EH$ và $\widehat{DHA}=\widehat{EHC}$. Mà $\widehat{DHA}+\widehat{EHC}=90^{\circ}$ nên $\widehat{DHE}=90^{\circ}$. Vậy $\Delta HDE$ là tam giác vuông cân tại H. Bài 5. a) Ta có: - $\angle ABE = \angle EBC$ (vì BE là tia phân giác của $\angle ABC$) - $\angle AEB = \angle HEB = 90^\circ$ (vì HE vuông góc với BC) - BE chung Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh kề hai góc vuông), ta có $\Delta ABE = \Delta HBE$. b) Vì $\Delta ABE = \Delta HBE$, nên AE = HE và BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH. c) Ta có: - $\angle ABE = \angle EBC$ (vì BE là tia phân giác của $\angle ABC$) - $\angle AEB = \angle HEB = 90^\circ$ (vì HE vuông góc với BC) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ ba (cạnh huyền và một góc nhọn), ta có $\Delta ABE = \Delta HBE$. Điều này dẫn đến BK = BC. Vì $\Delta ABC$ là tam giác vuông tại A, nên AB < BC (theo tính chất cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông). Đáp số: a) $\Delta ABE = \Delta HBE$ b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH c) BK = BC và AB < BC.