Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 53. a) Xét tam giác HBA và tam giác HCB ta có: $\widehat{BHA}=\widehat{CHB}=90^\circ $ $\widehat{HBA}=\widehat{HCB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HB) Vậy tam giác HBA đồng dạng với tam giác HCB (g-g) Từ đó suy ra $\frac{HB}{HC}=\frac{HA}{HB}$ hay $HB^2=HC,HA$ b) Ta có $\widehat{AHB}+\widehat{BHM}=90^\circ $ $\widehat{AHB}+\widehat{BHC}=90^\circ $ Vậy $\widehat{BHM}=\widehat{BHC}$ Xét tam giác BHM và tam giác BHN ta có: $\widehat{BHM}=\widehat{BHC}$ BH cạnh chung $\widehat{BMH}=\widehat{BNH}=90^\circ $ Vậy tam giác BHM đồng dạng với tam giác BHN (cạnh kề 2 góc vuông) Từ đó suy ra $MN=BH$ c) Ta có $\widehat{BHM}=\widehat{BHC}$ $\widehat{BHC}=\widehat{HCB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HB) Vậy $\widehat{BHM}=\widehat{HCB}$ Xét tam giác BMH và tam giác CNH ta có: $\widehat{BMH}=\widehat{CNH}=90^\circ $ $\widehat{BHM}=\widehat{HCB}$ Vậy tam giác BMH đồng dạng với tam giác CNH (g-g) Từ đó suy ra $\frac{MH}{NH}=\frac{BH}{CH}$ Mà I là trung điểm của HC, K là trung điểm của AH nên $\frac{BH}{CH}=\frac{AK}{HI}$ Vậy $\frac{MH}{NH}=\frac{AK}{HI}$ Ta có $\widehat{MHK}=\widehat{NHI}$ (2 góc đối đỉnh) Vậy tam giác MHK đồng dạng với tam giác NHI (c-a-c) Từ đó suy ra $\widehat{HKM}=\widehat{HIN}$ Mà 2 góc này so le trong nên MK song song IN Mặt khác, I và K lần lượt là trung điểm của HC và AH nên IK song song AC Vậy tứ giác MNIK là hình bình hành (1 cặp cạnh song song và bằng nhau) d) Diện tích tam giác BAC là $\frac{1}{2}AB,BC$ Diện tích tam giác BHC là $\frac{1}{2}BH,BC$ Ta có $\frac{S_{BHC}}{S_{BAC}}=\frac{\frac{1}{2}BH,BC}{\frac{1}{2}AB,BC}=\frac{BH}{AB}$ Mà tam giác HBA đồng dạng với tam giác HCB nên $\frac{BH}{AB}=\frac{HC}{HB}$ Từ đó suy ra $\frac{S_{BHC}}{S_{BAC}}=\frac{HC}{HB}$ Mặt khác, ta có $\frac{S_{MNIK}}{S_{BHC}}=\frac{S_{HNI}}{S_{BHC}}+\frac{S_{HMK}}{S_{BHC}}=\frac{HI}{HC}+\frac{HK}{HB}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ Vậy diện tích tứ giác MNIK bằng $\frac{1}{2}$ diện tích tam giác BAC Bài 54. a) Ta có $\angle CAI=\angle CBK$ (góc đỉnh của tam giác cân) $\angle AIC=\angle BKC=90^\circ$ Do đó $\Delta ACHI$ đồng dạng với $\Delta ACBK$ (góc-góc) b) Từ $\Delta ACHI$ đồng dạng với $\Delta ACBK$ ta có: $\frac{KA}{KC}=\frac{KH}{KB}$ c) Ta có: $\frac{KA}{KC}=\frac{KH}{KB}$ $\Rightarrow \frac{KA}{16}=\frac{KH}{12}$ $\Rightarrow KH=\frac{3}{4}KA$ Ta có: $AK+KH=AH$ $\Rightarrow AK+\frac{3}{4}AK=AH$ $\Rightarrow \frac{7}{4}AK=AH$ (1) Ta có $\Delta ACHI$ đồng dạng với $\Delta ACBK$ nên: $\frac{AH}{AC}=\frac{AK}{AB}$ $\Rightarrow AH=\frac{AC.AK}{AB}$ (2) Từ (1) và (2) ta có: $\frac{7}{4}AK=\frac{AC.AK}{AB}$ $\Rightarrow \frac{7}{4}=\frac{AC}{AB}$ $\Rightarrow AC=\frac{7}{4}AB$ (3) Ta có $\Delta ABC$ cân tại A nên $AB=AC$ (4) Từ (3) và (4) ta có: $AB=\frac{7}{4}AB$ $\Rightarrow AB=28(cm)$ d) Ta có: $BE.CK-\frac{1}{2}BC^2=BE.CK-\frac{1}{2}(BK+KC)^2$ $=BE.CK-(BK+KC).\frac{1}{2}(BK+KC)$ $=(BE-\frac{1}{2}BK-\frac{1}{2}KC).CK$ (5) Ta có: $\frac{KA}{KC}=\frac{KH}{KB}$ $\Rightarrow \frac{KA}{KC}-1=\frac{KH}{KB}-1$ $\Rightarrow \frac{KA-KC}{KC}=\frac{KH-KB}{KB}$ $\Rightarrow \frac{CK-KA}{KC}=\frac{BK-KH}{KB}$ $\Rightarrow \frac{AK}{KC}=\frac{HK}{BK}$ $\Rightarrow \frac{AK}{KC}+\frac{1}{2}=\frac{HK}{BK}+\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{2AK+KC}{2KC}=\frac{2HK+BK}{2BK}$ $\Rightarrow \frac{2AK+KC}{KC}=\frac{2HK+BK}{BK}$ $\Rightarrow 2AK+KC=\frac{KC.(2HK+BK)}{BK}$ $\Rightarrow 2AK=\frac{KC.(2HK+BK)}{BK}-KC$ $\Rightarrow 2AK=\frac{KC.(2HK+BK)-KC.BK}{BK}$ $\Rightarrow 2AK=\frac{2KC.HK}{BK}$ $\Rightarrow AK=\frac{KC.HK}{BK}$ $\Rightarrow \frac{KC.HK}{AK}=BK$ (6) Ta có: $\frac{KA}{KC}=\frac{KH}{KB}$ $\Rightarrow \frac{KA}{KC}+\frac{1}{2}=\frac{KH}{KB}+\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{2KA+KC}{2KC}=\frac{2KH+BK}{2BK}$ $\Rightarrow \frac{2KA+KC}{KC}=\frac{2KH+BK}{BK}$ $\Rightarrow 2KA+KC=\frac{KC.(2KH+BK)}{BK}$ $\Rightarrow 2KA=\frac{KC.(2KH+BK)}{BK}-KC$ $\Rightarrow 2KA=\frac{KC.(2KH+BK)-KC.BK}{BK}$ $\Rightarrow 2KA=\frac{2KC.HK}{BK}$ $\Rightarrow KA=\frac{KC.HK}{BK}$ $\Rightarrow \frac{KC.HK}{KA}=BK$ (7) Từ (6) và (7) ta có: $BK=\frac{KC.HK}{AK}$ $\Rightarrow BK-AK=\frac{KC.HK}{AK}-AK$ $\Rightarrow BK-AK=\frac{KC.HK-AK^2}{AK}$ $\Rightarrow BK-AK=\frac{AK(KC-AK)}{AK}$ $\Rightarrow BK-AK=KC-AK$ $\Rightarrow BK=KC$ (8) Từ (5) và (8) ta có: $BE.CK-\frac{1}{2}BC^2=(BE-\frac{1}{2}BK-\frac{1}{2}KC).CK$ $=(BE-BK).CK$ $=KE.CK$ (9) Ta có: $\frac{KA}{KC}=\frac{KH}{KB}$ $\Rightarrow \frac{KA}{KC}+1=\frac{KH}{KB}+1$ $\Rightarrow \frac{KA+KC}{KC}=\frac{KH+KB}{KB}$ $\Rightarrow KA+KC=\frac{KC.(KH+KB)}{KB}$ $\Rightarrow KC=\frac{KC.(KH+KB)}{KB}-KA$ $\Rightarrow KC=\frac{KC.(KH+KB)-KA.KB}{KB}$ $\Rightarrow KC=\frac{KC.KH+KC.KB-KA.KB}{KB}$ $\Rightarrow KC=\frac{KC.KH+(KC.KB-KA.KB)}{KB}$ $\Rightarrow KC=\frac{KC.KH+(KC-KA).KB}{KB}$ $\Rightarrow KC=\frac{KC.KH+AK.KB}{KB}$ $\Rightarrow KC.KB=KC.KH+AK.KB$ (10) Ta có: $\frac{KA}{KC}=\frac{KH}{KB}$ $\Rightarrow \frac{KA}{KC}+1=\frac{KH}{KB}+1$ $\Rightarrow \frac{KA+KC}{KC}=\frac{KH+KB}{KB}$ $\Rightarrow KA+KC=\frac{KC.(KH+KB)}{KB}$ $\Rightarrow KA=\frac{KC.(KH+KB)}{KB}-KC$ $\Rightarrow KA=\frac{KC.(KH+KB)-KC.KB}{KB}$ $\Rightarrow KA=\frac{KC.KH+KC.KB-KC.KB}{KB}$ $\Rightarrow KA=\frac{KC.KH}{KB}$ $\Rightarrow KB.KA=KC.KH$ (11) Từ (10) và (11) ta có: $KC.KB=KC.KH+AK.KB$ $\Rightarrow KC.KB=KB.KA+AK.KB$ $\Rightarrow KC.KB=KB(KA+AK)$ $\Rightarrow KC.KB=KB.KC$ (12) Từ (9) và (12) ta có: $BE.CK-\frac{1}{2}BC^2=KE.CK$ $=KA.KB$ Bài 55. a) Ta có $\frac{AM}{BN}=\frac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\frac{AB.BD.sinB}{CD.DB.sinD}=\frac{AB}{CD}=\frac{AB}{AD}$ b) Ta có $\frac{AK}{AD}=\frac{AI}{AB}=\frac{1}{3}$. Suy ra $\frac{DK}{DA}=\frac{2}{3}$ Mặt khác ta có $\frac{BC}{BD}=\frac{2}{3}$. Suy ra $\frac{DK}{DA}=\frac{BC}{BD}$. Ta lại có $\widehat{KDC}=\widehat{CDB}$. Suy ra $\Delta BKC\backsim\Delta DCK$ (g-g) c) Ta có $\widehat{EKC}=\widehat{ECK}$. Mà $\widehat{EKC}=\widehat{IEC}$. Suy ra $\widehat{IEC}=\widehat{ECK}$. Suy ra $\Delta IEK\backsim\Delta CEK$ (g-g). Suy ra $\frac{EK}{CE}=\frac{EI}{CK}$. Suy ra $EC^2=EI.EK$