giúp em với ạ

Bài 4: Để phương trình $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 3m - 7 = 0$ vô nghiệm, ta cần tính $\Delta < 0$. Bước 1: Tính $\Delta$ \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Ở đây, $a = 1$, $b = -2(m + 1)$, $c = m^2 + 3m - 7$. Thay vào công thức: \[ \Delta = [-2(m + 1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 3m - 7) \] \[ \Delta = 4(m + 1)^2 - 4(m^2 + 3m - 7) \] \[ \Delta = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 + 3m - 7) \] \[ \Delta = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 - 12m + 28 \] \[ \Delta = -4m + 32 \] Bước 2: Đặt $\Delta < 0$ \[ -4m + 32 < 0 \] \[ -4m < -32 \] \[ m > 8 \] Vậy, phương trình $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 3m - 7 = 0$ vô nghiệm khi $m > 8$. Bài 5: Để chứng minh phương trình $x^2 - mx - 2m^2 + 3m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$, ta cần kiểm tra tính chất của phương trình này thông qua hệ số và tiêu chuẩn của phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai có dạng tổng quát là $ax^2 + bx + c = 0$. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu $\Delta = b^2 - 4ac > 0$. Trong phương trình $x^2 - mx - 2m^2 + 3m - 2 = 0$, ta có: - $a = 1$ - $b = -m$ - $c = -2m^2 + 3m - 2$ Tiếp theo, ta tính $\Delta$: \begin{align} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= (-m)^2 - 4(1)(-2m^2 + 3m - 2) \\ &= m^2 + 8m^2 - 12m + 8 \\ &= 9m^2 - 12m + 8 \end{align} Bây giờ, ta cần chứng minh rằng $\Delta > 0$ với mọi giá trị của $m$. Ta xét biểu thức $9m^2 - 12m + 8$: Ta thấy rằng $9m^2 - 12m + 8$ là một tam thức bậc hai với hệ số $a = 9$, $b = -12$, và $c = 8$. Để chứng minh rằng nó luôn dương, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương hoặc kiểm tra giá trị của $\Delta$ của tam thức này. Ta tính $\Delta'$ của tam thức $9m^2 - 12m + 8$: \begin{align} \Delta' &= b^2 - 4ac \\ &= (-12)^2 - 4(9)(8) \\ &= 144 - 288 \\ &= -144 \end{align} Vì $\Delta' < 0$, tam thức $9m^2 - 12m + 8$ không có nghiệm thực và luôn dương với mọi giá trị của $m$. Do đó, $\Delta = 9m^2 - 12m + 8 > 0$ với mọi giá trị của $m$. Vậy phương trình $x^2 - mx - 2m^2 + 3m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$. Bài 6: a) Với $m=-2,$ ta có phương trình $-2x^2+6x-1=0.$ Tính $\Delta = 6^2 - 4 \times (-2) \times (-1) = 36 - 8 = 28.$ Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{28}}{2 \times (-2)} = \frac{-6 + 2\sqrt{7}}{-4} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}, \] \[ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{28}}{2 \times (-2)} = \frac{-6 - 2\sqrt{7}}{-4} = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}. \] b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0.$ Tính $\Delta = [-2(m-1)]^2 - 4 \times m \times (m+1) = 4(m-1)^2 - 4m(m+1).$ Rút gọn: \[ \Delta = 4(m^2 - 2m + 1) - 4(m^2 + m) = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 - 4m = -12m + 4. \] Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: \[ -12m + 4 > 0 \Rightarrow -12m > -4 \Rightarrow m < \frac{1}{3}. \] Do đó, $m < \frac{1}{3}$ và $m \neq 0$ (vì nếu $m = 0$ thì phương trình trở thành phương trình bậc nhất). c) Phương trình có một nghiệm duy nhất khi $\Delta = 0.$ Từ phần b), ta có: \[ -12m + 4 = 0 \Rightarrow -12m = -4 \Rightarrow m = \frac{1}{3}. \] Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất khi $m = \frac{1}{3}.$ Đáp số: a) $x_1 = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}, x_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}.$ b) $m < \frac{1}{3}$ và $m \neq 0.$ c) $m = \frac{1}{3}.$ Bài 7: Gọi chiều rộng của mảnh vườn là x (m, điều kiện: x > 0). Chiều dài của mảnh vườn là: x + 6 (m). Diện tích mảnh vườn là: x(x + 6) = 140 x^2 + 6x = 140 x^2 + 6x - 140 = 0 (x + 14)(x - 10) = 0 x = -14 hoặc x = 10 Vì x > 0 nên x = 10. Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 10 m, chiều dài của mảnh vườn là 16 m. Bài 8: Gọi độ dài cạnh của tấm tôn hình vuông ban đầu là x (cm). Khi cắt bỏ bốn hình vuông ở bốn góc có độ dài cạnh là 8 cm, ta sẽ có chiều dài và chiều rộng của đáy thùng là x - 2 × 8 = x - 16 (cm). Chiều cao của thùng là 8 cm. Thể tích của thùng là: (x - 16) × (x - 16) × 8 = 200 (x - 16)² × 8 = 200 (x - 16)² = 200 : 8 (x - 16)² = 25 x - 16 = 5 hoặc x - 16 = -5 (loại) x = 5 + 16 x = 21 Vậy độ dài cạnh của tấm tôn hình vuông ban đầu là 21 cm.