Shxhhxnxhnx - HNH HHCACUUI KK ,PHẦN I. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một,phương án.,Câu 1. Cho hàm số $f(x)=3x^2+2x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của,$f(x)$ trên $\mathbb R?$,$A.~F_1(x)=x^3+x^2-4.$ $B.~F_1(x)=\frac{x^2}3+\frac{x^2}2.$ $C.~F_3(x)=x^3-x^2+1.$ $D.~F_4(x)=3x^3+x^2.$,Câu 2. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng K nếu,$A.~F^\prime(x)=-f(x),~\forall x\in K.$ $B.~f^\prime(x)=F(x),~\forall x\in K.$,$C.~F(x)=f(x),~\forall x\in K.$ $D.~f^\prime(x)=-F(x),~\forall x\in K.$,Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b].$ Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$,trên đoạn [a;b]. Chọn mệnh đề đúng.,$A.~\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a).$ $B.~\int^b_af(x)dx=F(a)-F(b).$,$C.~\int f(x)dx=F(b)+F(a).$ $D.~\int^2f(x)dx=F^2(b)-F^2(a).$,Câu 4. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+1,x=-1,x=2$ và trục hoành.,$A.~S=16.$ $B.~S=6.$ $C.~S=\frac{13}6.$ $D.~S=13.$,Câu 5. Cho đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(2;-4;-6).$ Vectơ nào sau đây không phải,là vectơ chỉ phương của $\Delta?$,$A.~\overrightarrow u_1=(1;-2;-3).$ $B.~\overrightarrow u_2=(-1;2;3).$ $C.~\overrightarrow u_3=(-2;-4;6).$ $D.~\overrightarrow u_4=(-3;6;9)$,$A(1;-3;5),~B(2;-1;7)$ có phưưnơ trình,Câu 6. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm,chính tắc là,$A.~\frac{x-1}1=\frac{y+3}2=\frac{z-7}2.$ $B.~\frac{x-1}1=\frac{y+3}2=\frac{z-5}{-2}.$,$C.~\frac{x-1}{-1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-5}{-2}.$ $D.~\frac{x+1}1=\frac{y-3}2=\frac{z+5}{-2}.$,Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S):~x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=25.$ Tọa độ tâm I và bán,kính R của mặt cầu (S) là,$A.~I(0;-4;-1),~R=25.$ $B.~I(0;-4;-1),~R=5.$,$C.~I(0;4;1),~R=25.$ $D.~I(0;4;1),~R=5.$,Câu 8. Viết phương trình mặt cầu có tâm $M(3;1;-4)$ và đi qua điểm $N(1;0;1).$,$A.~(x+3)^2+(y+1)^2+(z-4)^2=30$ $B.~(x-3)^2+(y-1)^2+(z+4)^2=30$,$C.~(x-3)^2+(y-1)^2+(z+4)^2=\sqrt{30}$ $D.~(x-3)^2-(y-1)^2-(z+4)^2=30$,1

Question

Shxhhxnxhnx - HNH HHCACUUI KK  ,PHẦN I. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một,phương án.,Câu 1. Cho hàm số $f(x)=3x^2+2x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của,$f(x)$ trên $\mathbb R?$,$A.~F_1(x)=x^3+x^2-4.$ $B.~F_1(x)=\frac{x^2}3+\frac{x^2}2.$ $C.~F_3(x)=x^3-x^2+1.$ $D.~F_4(x)=3x^3+x^2.$,Câu 2. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng K nếu,$A.~F^\prime(x)=-f(x),~\forall x\in K.$ $B.~f^\prime(x)=F(x),~\forall x\in K.$,$C.~F(x)=f(x),~\forall x\in K.$ $D.~f^\prime(x)=-F(x),~\forall x\in K.$,Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b].$ Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$,trên đoạn [a;b]. Chọn mệnh đề đúng.,$A.~\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a).$ $B.~\int^b_af(x)dx=F(a)-F(b).$,$C.~\int f(x)dx=F(b)+F(a).$ $D.~\int^2f(x)dx=F^2(b)-F^2(a).$,Câu 4. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+1,x=-1,x=2$ và trục hoành.,$A.~S=16.$ $B.~S=6.$ $C.~S=\frac{13}6.$ $D.~S=13.$,Câu 5. Cho đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(2;-4;-6).$ Vectơ nào sau đây không phải,là vectơ chỉ phương của $\Delta?$,$A.~\overrightarrow u_1=(1;-2;-3).$ $B.~\overrightarrow u_2=(-1;2;3).$ $C.~\overrightarrow u_3=(-2;-4;6).$ $D.~\overrightarrow u_4=(-3;6;9)$,$A(1;-3;5),~B(2;-1;7)$ có phưưnơ trình,Câu 6. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm,chính tắc là,$A.~\frac{x-1}1=\frac{y+3}2=\frac{z-7}2.$ $B.~\frac{x-1}1=\frac{y+3}2=\frac{z-5}{-2}.$,$C.~\frac{x-1}{-1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-5}{-2}.$ $D.~\frac{x+1}1=\frac{y-3}2=\frac{z+5}{-2}.$,Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S):~x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=25.$ Tọa độ tâm I và bán,kính R của mặt cầu (S) là,$A.~I(0;-4;-1),~R=25.$ $B.~I(0;-4;-1),~R=5.$,$C.~I(0;4;1),~R=25.$ $D.~I(0;4;1),~R=5.$,Câu 8. Viết phương trình mặt cầu có tâm $M(3;1;-4)$ và đi qua điểm $N(1;0;1).$,$A.~(x+3)^2+(y+1)^2+(z-4)^2=30$ $B.~(x-3)^2+(y-1)^2+(z+4)^2=30$,$C.~(x-3)^2+(y-1)^2+(z+4)^2=\sqrt{30}$ $D.~(x-3)^2-(y-1)^2-(z+4)^2=30$,1

Accepted Answer

Câu 1.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 3x^2 + 2x $, ta cần tìm một hàm số $ F(x) $ sao cho đạo hàm của $ F(x) $ bằng $ f(x) $. Ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho để xem hàm số nào thỏa mãn điều kiện này.

A. $ F_1(x) = x^3 + x^2 - 4 $

Tính đạo hàm của $ F_1(x) $:
$$ F_1'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2 - 4) = 3x^2 + 2x $$

B. $ F_2(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} $

Tính đạo hàm của $ F_2(x) $:
$$ F_2'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right) = x^2 + x $$

C. $ F_3(x) = x^3 - x^2 + 1 $

Tính đạo hàm của $ F_3(x) $:
$$ F_3'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 + 1) = 3x^2 - 2x $$

D. $ F_4(x) = 3x^3 + x^2 $

Tính đạo hàm của $ F_4(x) $:
$$ F_4'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 + x^2) = 9x^2 + 2x $$

So sánh các đạo hàm vừa tính với $ f(x) = 3x^2 + 2x $:

- $ F_1'(x) = 3x^2 + 2x $ đúng bằng $ f(x) $.
- $ F_2'(x) = x^2 + x $ không bằng $ f(x) $.
- $ F_3'(x) = 3x^2 - 2x $ không bằng $ f(x) $.
- $ F_4'(x) = 9x^2 + 2x $ không bằng $ f(x) $.

Vậy, hàm số $ F_1(x) = x^3 + x^2 - 4 $ là một nguyên hàm của $ f(x) $ trên $\mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: A. $ F_1(x) = x^3 + x^2 - 4 $

Câu 2.
Để xác định hàm số $ F(x) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(x) $ trên khoảng $ K $, ta cần kiểm tra điều kiện nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng.

Theo định nghĩa của nguyên hàm, hàm số $ F(x) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(x) $ trên khoảng $ K $ nếu và chỉ nếu đạo hàm của $ F(x) $ bằng $ f(x) $ trên toàn bộ khoảng $ K $. Điều này có thể viết dưới dạng:
$$ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. $$

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn:

A. $ F'(x) = -f(x), \quad \forall x \in K $
- Điều này không đúng vì đạo hàm của $ F(x) $ phải bằng $ f(x) $, không phải là $ -f(x) $.

B. $ f'(x) = F(x), \quad \forall x \in K $
- Điều này không đúng vì đạo hàm của $ f(x) $ không liên quan trực tiếp đến $ F(x) $ theo định nghĩa nguyên hàm.

C. $ F(x) = f(x), \quad \forall x \in K $
- Điều này không đúng vì $ F(x) $ là nguyên hàm của $ f(x) $, không phải là $ f(x) $ chính nó.

D. $ f'(x) = -F(x), \quad \forall x \in K $
- Điều này không đúng vì đạo hàm của $ f(x) $ không liên quan trực tiếp đến $ F(x) $ theo định nghĩa nguyên hàm.

Như vậy, chỉ có lựa chọn đúng là:
$$ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$ \boxed{A} $$

Câu 3.
Theo định lý Newton-Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$, thì tích phân của $f(x)$ từ $a$ đến $b$ được tính bằng công thức:

$$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$

Do đó, mệnh đề đúng là:

A. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Đáp án: A.

Câu 4.
Để tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = x^2 + 1 $, $ x = -1 $, $ x = 2 $ và trục hoành, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định khoảng tích phân:
   - Giới hạn trên là $ x = 2 $.
   - Giới hạn dưới là $ x = -1 $.

2. Tích phân hàm số $ y = x^2 + 1 $ từ $ x = -1 $ đến $ x = 2 $:
   $$
   S = \int_{-1}^{2} (x^2 + 1) \, dx
   $$

3. Tính tích phân từng phần:
   $$
   \int_{-1}^{2} (x^2 + 1) \, dx = \int_{-1}^{2} x^2 \, dx + \int_{-1}^{2} 1 \, dx
   $$

4. Tính từng tích phân riêng lẻ:
   $$
   \int_{-1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3
   $$
   $$
   \int_{-1}^{2} 1 \, dx = \left[ x \right]_{-1}^{2} = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3
   $$

5. Cộng các kết quả lại:
   $$
   S = 3 + 3 = 6
   $$

Vậy diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = x^2 + 1 $, $ x = -1 $, $ x = 2 $ và trục hoành là:
$$
\boxed{6}
$$

Đáp án đúng là: B. $ S = 6 $.

Câu 5.
Để xác định vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$, ta cần kiểm tra xem các vectơ đó có tỉ lệ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow u=(2;-4;-6)$ hay không.

- Kiểm tra vectơ $\overrightarrow u_1=(1;-2;-3)$:
$$
\frac{1}{2} = \frac{-2}{-4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}
$$
Vậy $\overrightarrow u_1$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

- Kiểm tra vectơ $\overrightarrow u_2=(-1;2;3)$:
$$
\frac{-1}{2} = \frac{2}{-4} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}
$$
Vậy $\overrightarrow u_2$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

- Kiểm tra vectơ $\overrightarrow u_3=(-2;-4;6)$:
$$
\frac{-2}{2} = -1, \quad \frac{-4}{-4} = 1, \quad \frac{6}{-6} = -1
$$
Tỉ lệ không giống nhau, do đó $\overrightarrow u_3$ không phải là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

- Kiểm tra vectơ $\overrightarrow u_4=(-3;6;9)$:
$$
\frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}, \quad \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}, \quad \frac{9}{-6} = -\frac{3}{2}
$$
Vậy $\overrightarrow u_4$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Vậy đáp án đúng là:
C. $\overrightarrow u_3=(-2;-4;6)$.

Đáp án: C. $\overrightarrow u_3=(-2;-4;6)$.

Câu 6.
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm trong không gian Oxyz, ta cần biết tọa độ của hai điểm đó. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp tọa độ cụ thể của hai điểm. Do đó, chúng ta sẽ giả sử rằng hai điểm chính tắc là hai điểm đã cho trong các phương án A, B, C, D.

Giả sử hai điểm là $A(1, -3, 7)$ và $B(1, -3, 5)$.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ và $B(x_2, y_2, z_2)$ có dạng:
$$
\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}
$$

Áp dụng vào hai điểm $A(1, -3, 7)$ và $B(1, -3, 5)$:
$$
\frac{x - 1}{1 - 1} = \frac{y + 3}{-3 + 3} = \frac{z - 7}{5 - 7}
$$

Tuy nhiên, ta thấy rằng $x_2 - x_1 = 0$ và $y_2 - y_1 = 0$, do đó phương trình này không đúng vì mẫu số bằng 0. Điều này cho thấy hai điểm này nằm trên cùng một đường thẳng thẳng đứng theo trục z.

Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(1, -3, 7)$ và $B(1, -3, 5)$ là:
$$
x = 1, \quad y = -3, \quad \frac{z - 7}{5 - 7} = \frac{z - 7}{-2}
$$

Như vậy, phương trình đường thẳng là:
$$
\frac{x - 1}{0} = \frac{y + 3}{0} = \frac{z - 7}{-2}
$$

Tuy nhiên, trong các phương án đã cho, phương án B gần đúng nhất với kết quả này:
$$
\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 5}{-2}
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{B}
$$

Câu 7.
Phương trình mặt cầu $(S)$ được cho là:
$$ x^2 + (y - 4)^2 + (z - 1)^2 = 25 $$

Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình mặt cầu:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 $$
trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm của mặt cầu và $R$ là bán kính.

So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn, ta có:
$$ a = 0, \quad b = 4, \quad c = 1, \quad R^2 = 25 $$

Từ đó suy ra:
$$ R = \sqrt{25} = 5 $$

Vậy tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là:
$$ I(0, 4, 1), \quad R = 5 $$

Do đó, đáp án đúng là:
D. $I(0; 4; 1), R = 5$.

Câu 8.
Để viết phương trình mặt cầu có tâm $ M(3;1;-4) $ và đi qua điểm $ N(1;0;1) $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính bán kính $ R $ của mặt cầu.
Bán kính $ R $ là khoảng cách từ tâm $ M $ đến điểm $ N $.

$$
R = \sqrt{(1 - 3)^2 + (0 - 1)^2 + (1 + 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}
$$

Bước 2: Viết phương trình mặt cầu.
Phương trình mặt cầu có tâm $ (a, b, c) $ và bán kính $ R $ là:

$$
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
$$

Áp dụng vào bài toán, tâm $ M(3;1;-4) $ và bán kính $ R = \sqrt{30} $:

$$
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = (\sqrt{30})^2 = 30
$$

Vậy phương trình mặt cầu là:

$$
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 30
$$

Do đó, đáp án đúng là:

B. $ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 30 $

Đáp số: B. $ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 30 $