tính đạo hàmm $y=\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x+1}$

Question

Accepted Answer

Để tính đạo hàm của hàm số $ y = \frac{\sqrt{x^2 + 2x}}{x + 1} $, ta sẽ áp dụng quy tắc tính đạo hàm của thương hai hàm số.

Bước 1: Xác định các hàm con $ u(x) $ và $ v(x) $:
- $ u(x) = \sqrt{x^2 + 2x} $
- $ v(x) = x + 1 $

Bước 2: Tính đạo hàm của các hàm con:
- Đạo hàm của $ u(x) = \sqrt{x^2 + 2x} $:
  $$
  u'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 + 2x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 2x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x}} \cdot (2x + 2) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x}}
  $$

- Đạo hàm của $ v(x) = x + 1 $:
  $$
  v'(x) = 1
  $$

Bước 3: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của thương hai hàm số:
$$
y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
Thay $ u(x) $, $ u'(x) $, $ v(x) $, và $ v'(x) $ vào công thức trên:
$$
y' = \frac{\left(\frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x}}\right)(x + 1) - (\sqrt{x^2 + 2x})(1)}{(x + 1)^2}
$$

Bước 4: Rút gọn biểu thức:
$$
y' = \frac{\frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x^2 + 2x}} - \sqrt{x^2 + 2x}}{(x + 1)^2}
$$
$$
y' = \frac{(x + 1)^2 - (x^2 + 2x)}{(x + 1)^2 \sqrt{x^2 + 2x}}
$$
$$
y' = \frac{x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x}{(x + 1)^2 \sqrt{x^2 + 2x}}
$$
$$
y' = \frac{1}{(x + 1)^2 \sqrt{x^2 + 2x}}
$$

Vậy đạo hàm của hàm số $ y = \frac{\sqrt{x^2 + 2x}}{x + 1} $ là:
$$
y' = \frac{1}{(x + 1)^2 \sqrt{x^2 + 2x}}
$$