Câu 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SB. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. CM vuông góc SB B. AN vuông góc BC C....

Câu 1 Trước tiên, ta xét các mệnh đề một cách chi tiết: A. CM vuông góc SB: - Vì ABC là tam giác đều nên CM là đường cao hạ từ C xuống AB, do đó CM vuông góc với AB. - Mặt khác, SA vuông góc với đáy ABC, suy ra SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ABC, bao gồm cả AB và CM. - Do đó, CM nằm trong mặt phẳng ABC và vuông góc với SA, suy ra CM vuông góc với SB (vì SB nằm trong mặt phẳng SAB và SA vuông góc với AB). B. AN vuông góc BC: - Vì SA vuông góc với đáy ABC, suy ra SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ABC, bao gồm cả BC. - Mặt khác, N là trung điểm của SB, do đó AN nằm trong mặt phẳng SAN và vuông góc với SA. - Tuy nhiên, AN không chắc chắn vuông góc với BC vì AN nằm trong mặt phẳng SAN và không có thông tin trực tiếp về vị trí của AN so với BC. C. CM vuông góc AN: - Ta đã biết CM vuông góc với AB và SA. - Mặt khác, AN nằm trong mặt phẳng SAN và vuông góc với SA. - Do đó, CM nằm trong mặt phẳng ABC và vuông góc với SA, suy ra CM vuông góc với AN (vì AN nằm trong mặt phẳng SAN và SA vuông góc với AB). D. MN vuông góc MC: - MN là đường trung bình của tam giác SAB, do đó MN song song với SA và vuông góc với đáy ABC. - Mặt khác, MC nằm trong mặt phẳng ABC và vuông góc với AB. - Do đó, MN nằm trong mặt phẳng SAN và vuông góc với SA, suy ra MN vuông góc với MC (vì MC nằm trong mặt phẳng ABC và SA vuông góc với AB). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng mệnh đề B là sai vì không có thông tin trực tiếp chứng minh AN vuông góc với BC. Đáp án: B. AN vuông góc BC. Câu 2: Trong hình lăng trụ đều A'B'C', ta xét góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABC). Để tìm góc này, ta cần xác định đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABC). 1. Xác định đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABC): - Đường thẳng AC' là đường chéo của hình lăng trụ từ đỉnh A đến đỉnh C'. - Mặt phẳng (ABC) là đáy của hình lăng trụ. 2. Tìm giao điểm của AC' với mặt phẳng (ABC): - Giao điểm của AC' với mặt phẳng (ABC) là điểm C (vì C nằm trên cả đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABC)). 3. Xác định góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABC): - Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABC) là góc giữa đường thẳng AC' và đường thẳng AC (vì AC nằm trong mặt phẳng (ABC)). - Ta cần tính góc giữa hai vectơ AC' và AC. 4. Tính góc giữa hai vectơ AC' và AC: - Vector AC có độ dài là AC = AB = $$. - Vector AC' có độ dài là AC' = $$. - Vector AA' có độ dài là AA' = 1. 5. Áp dụng công thức cosinus trong tam giác: - Trong tam giác ABC, góc ACB = 90° vì ABC là tam giác đều. - Trong tam giác ACC', ta có: $$ $$ - Vậy $$. 6. Tính góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABC): - Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABC) là góc giữa AC' và AC, tức là góc giữa AC' và AC trong tam giác ACC'. - Ta có: $$ - Vậy $$. Do đó, góc tạo bởi giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABC) là 30°. Đáp án đúng là: B. 30°. Câu 3: Để tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ADD'A') và (BCC'B'), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (ADD'A') bao gồm các đỉnh A, D, D', A'. - Mặt phẳng (BCC'B') bao gồm các đỉnh B, C, C', B'. 2. Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng: - Vì hai mặt phẳng này song song với nhau (do chúng cùng song song với mặt đáy ABCD của hình lập phương), khoảng cách giữa chúng sẽ bằng độ dài đoạn thẳng vuông góc chung từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 3. Tính khoảng cách: - Ta chọn điểm A trên mặt phẳng (ADD'A'). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B') chính là chiều cao của hình lập phương, vì hai mặt phẳng này song song và cách đều nhau theo chiều cao của hình lập phương. - Độ dài cạnh của hình lập phương là 10, do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng là 10. Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ADD'A') và (BCC'B') là 10. Đáp án đúng là: D. 10.