Giúp mình câu 19, 23, 24 với ạ

Câu 19. Để giải phương trình $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có dạng $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3$. Để các biểu thức logarit có nghĩa, ta cần: \[ x - 1 > 0 \quad \text{và} \quad x + 1 > 0 \] \[ x > 1 \] Bước 2: Gộp các biểu thức logarit Áp dụng tính chất của logarit: $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$, ta có: \[ \log_2((x-1)(x+1)) = 3 \] Bước 3: Chuyển về dạng phương trình mũ Ta có: \[ \log_2((x-1)(x+1)) = 3 \] \[ (x-1)(x+1) = 2^3 \] \[ (x-1)(x+1) = 8 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai \[ x^2 - 1 = 8 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm 3 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định Ta đã xác định ĐKXĐ là $x > 1$. Do đó, chỉ có $x = 3$ thỏa mãn điều kiện này. Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là $S = \{3\}$. Đáp án đúng là: $A.~S=\{3\}.$ Câu 20. Để giải phương trình $2^{x+1} = 8$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện: Phương trình này không yêu cầu điều kiện xác định vì nó là phương trình mũ cơ bản. 2. Viết lại phương trình: Ta nhận thấy rằng $8$ có thể viết dưới dạng lũy thừa của $2$. Cụ thể: \[ 8 = 2^3 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 2^{x+1} = 2^3 \] 3. So sánh các lũy thừa: Vì hai vế đều có cùng cơ số là $2$, ta có thể so sánh các mũ của chúng: \[ x + 1 = 3 \] 4. Giải phương trình: Giải phương trình $x + 1 = 3$ để tìm giá trị của $x$: \[ x = 3 - 1 \] \[ x = 2 \] 5. Kiểm tra nghiệm: Thay $x = 2$ vào phương trình ban đầu để kiểm tra: \[ 2^{2+1} = 2^3 = 8 \] Kết quả đúng, vậy $x = 2$ là nghiệm của phương trình. Vậy phương trình $2^{x+1} = 8$ có nghiệm là $x = 2$. Đáp án đúng là: $A.~x = 2$. Câu 21. Để giải bất phương trình $2^x \leq 3$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Bất phương trình $2^x \leq 3$ luôn đúng với mọi giá trị của $x$ vì $2^x$ luôn dương và tăng dần theo $x$. Do đó, không cần thêm điều kiện nào khác. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $2^x \leq 3$. - Để giải bất phương trình này, ta sử dụng tính chất của hàm mũ: Nếu $a > 1$ thì $a^x$ là hàm số đồng biến trên tập số thực. Vì $2 > 1$, nên $2^x$ là hàm số đồng biến. - Do đó, ta có thể áp dụng hàm logarit cơ số 2 vào cả hai vế của bất phương trình để giải quyết nó: \[ 2^x \leq 3 \implies x \leq \log_2 3 \] 3. Kết luận: - Tập nghiệm của bất phương trình $2^x \leq 3$ là $S = (-\infty; \log_2 3]$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\textcircled{A.}~S = (-\infty; \log_2 3]} \] Câu 22. Để giải bất phương trình $\log_{\frac13}(1-x) > \log_{\frac13}(2x+3)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Đối với $\log_{\frac13}(1-x)$, ta có: \[ 1 - x > 0 \implies x < 1 \] - Đối với $\log_{\frac13}(2x + 3)$, ta có: \[ 2x + 3 > 0 \implies x > -\frac{3}{2} \] Vậy ĐKXĐ của bất phương trình là: \[ -\frac{3}{2} < x < 1 \] Bước 2: So sánh hai biểu thức trong bất phương trình Do cơ số của lôgarit là $\frac{1}{3}$ (một số nhỏ hơn 1), nên khi so sánh hai biểu thức trong lôgarit, ta sẽ đảo ngược dấu so sánh: \[ 1 - x < 2x + 3 \] Bước 3: Giải bất phương trình Ta giải bất phương trình: \[ 1 - x < 2x + 3 \] \[ 1 - 3 < 2x + x \] \[ -2 < 3x \] \[ x > -\frac{2}{3} \] Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định Ta đã có điều kiện xác định là $-\frac{3}{2} < x < 1$. Kết hợp với điều kiện $x > -\frac{2}{3}$, ta có: \[ -\frac{2}{3} < x < 1 \] Bước 5: Kiểm tra lại điều kiện ban đầu Theo đề bài, ta có thêm điều kiện $x < -\frac{2}{3}$. Tuy nhiên, điều kiện này mâu thuẫn với điều kiện $x > -\frac{2}{3}$ mà ta vừa tìm được. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là rỗng. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = \emptyset \] Đáp án đúng là: $\textcircled{C.}~S = (-\infty; -\frac{2}{3})$. Câu 23. Ta có: \[ \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2 \] Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x = 3 \), ta có: \[ f'(3) = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} \] Do đó: \[ f'(3) = 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~f'(3) = 2 \] Câu 24. Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(-3;f(-3))$ bằng giá trị của đạo hàm tại điểm đó. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(-3;f(-3))$ là $f^\prime(-3)$. Theo đề bài, ta có $f^\prime(-3) = 3$. Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(-3;f(-3))$ là 3. Đáp án đúng là: A. 3.