tính đạo hàm $\begin{array}ly=(x^2+1)^3.(x^3+3x)^4\y^2=\end{array}$,$y=\frac3{\sqrt{x^2+6x}}$

Question

Accepted Answer

Để tính đạo hàm của các hàm số đã cho, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản và các công thức đạo hàm đã học.

Bài 1: Tính đạo hàm của $ y = (x^2 + 1)^3 \cdot (x^3 + 3x)^4 $

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số:
$$ y' = u'v + uv' $$
Trong đó:
- $ u = (x^2 + 1)^3 $
- $ v = (x^3 + 3x)^4 $

Tính đạo hàm của $ u $:
$$ u' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $$

Tính đạo hàm của $ v $:
$$ v' = 4(x^3 + 3x)^3 \cdot (3x^2 + 3) = 12(x^3 + 3x)^3(x^2 + 1) $$

Áp dụng vào công thức đạo hàm của tích:
$$ y' = 6x(x^2 + 1)^2 \cdot (x^3 + 3x)^4 + (x^2 + 1)^3 \cdot 12(x^3 + 3x)^3(x^2 + 1) $$

Rút gọn:
$$ y' = 6x(x^2 + 1)^2(x^3 + 3x)^4 + 12(x^2 + 1)^3(x^3 + 3x)^3(x^2 + 1) $$

Bài 2: Tính đạo hàm của $ y = \frac{3}{\sqrt{x^2 + 6x}} $

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$
Trong đó:
- $ u = 3 $
- $ v = \sqrt{x^2 + 6x} $

Tính đạo hàm của $ u $:
$$ u' = 0 $$

Tính đạo hàm của $ v $:
$$ v = (x^2 + 6x)^{1/2} $$
$$ v' = \frac{1}{2}(x^2 + 6x)^{-1/2} \cdot (2x + 6) = \frac{2x + 6}{2\sqrt{x^2 + 6x}} = \frac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 6x}} $$

Áp dụng vào công thức đạo hàm của thương:
$$ y' = \frac{0 \cdot \sqrt{x^2 + 6x} - 3 \cdot \frac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 6x}}}{(\sqrt{x^2 + 6x})^2} $$
$$ y' = \frac{-3(x + 3)}{(x^2 + 6x)\sqrt{x^2 + 6x}} $$
$$ y' = \frac{-3(x + 3)}{(x^2 + 6x)^{3/2}} $$

Đáp số:
$$ y' = \frac{-3(x + 3)}{(x^2 + 6x)^{3/2}} $$