giúp mình vớii Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với,$AB=a\sqrt2,~AC=a\sqrt3.$ Cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với mặt đáy,(ABCD) . Các mệnh đề sau đúng hay sai?,$a)~AD//(SBC)$,b) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng: $\frac{a\sqrt3}3$,c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, AB bằng: $\frac{2a\sqrt5}5$,d) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: $\frac{\sqrt2a^3}3$

Question

Accepted Answer

Câu 2.
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các thông tin đã cho và các tính chất của hình học.

Mệnh đề a) $ AD // (SBC) $

- $ AD $ nằm trong mặt phẳng $ (ABCD) $.
- $ S $ là đỉnh của chóp và $ SA \perp (ABCD) $.

Do đó, $ AD $ không song song với $ (SBC) $. Mệnh đề này là sai.

Mệnh đề b) Khoảng cách từ $ D $ đến mặt phẳng $ (SBC) $ bằng: $ \frac{a\sqrt{3}}{3} $

- $ D $ nằm trong mặt phẳng $ (ABCD) $.
- $ S $ là đỉnh của chóp và $ SA \perp (ABCD) $.

Khoảng cách từ $ D $ đến mặt phẳng $ (SBC) $ là khoảng cách từ $ D $ đến đường thẳng $ BC $ trong mặt phẳng $ (ABCD) $. Ta có thể tính khoảng cách này bằng cách sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Ta có:
$$ d(D, (SBC)) = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{DS} |}{|\vec{n}|} $$

Trong đó, $ \vec{n} $ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (SBC) $.

Tính toán cụ thể:
$$ \vec{DS} = \vec{DA} + \vec{AS} = (-a\sqrt{2}, 0, 2a) $$
$$ \vec{BC} = (0, a\sqrt{2}, 0) $$
$$ \vec{SB} = (-a\sqrt{2}, a\sqrt{2}, -2a) $$

Vectơ pháp tuyến $ \vec{n} $ của mặt phẳng $ (SBC) $:
$$ \vec{n} = \vec{BC} \times \vec{SB} = (0, a\sqrt{2}, 0) \times (-a\sqrt{2}, a\sqrt{2}, -2a) = (2a^2, 0, a^2\sqrt{2}) $$

Khoảng cách:
$$ d(D, (SBC)) = \frac{| (2a^2, 0, a^2\sqrt{2}) \cdot (-a\sqrt{2}, 0, 2a) |}{\sqrt{(2a^2)^2 + (a^2\sqrt{2})^2}} = \frac{| -2a^3\sqrt{2} + 2a^3\sqrt{2} |}{\sqrt{4a^4 + 2a^4}} = \frac{0}{\sqrt{6a^4}} = 0 $$

Mệnh đề này là sai.

Mệnh đề c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SD $ và $ AB $ bằng: $ \frac{2a\sqrt{5}}{5} $

- $ SD $ và $ AB $ là hai đường thẳng chéo nhau trong không gian.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được tính bằng công thức:
$$ d(SD, AB) = \frac{| \vec{SD} \times \vec{AB} |}{| \vec{SD} |} $$

Trong đó:
$$ \vec{SD} = (-a\sqrt{2}, 0, 2a) $$
$$ \vec{AB} = (a\sqrt{2}, 0, 0) $$

Tính toán cụ thể:
$$ \vec{SD} \times \vec{AB} = (-a\sqrt{2}, 0, 2a) \times (a\sqrt{2}, 0, 0) = (0, 4a^2, 0) $$

Khoảng cách:
$$ d(SD, AB) = \frac{| (0, 4a^2, 0) |}{\sqrt{(-a\sqrt{2})^2 + (2a)^2}} = \frac{4a^2}{\sqrt{2a^2 + 4a^2}} = \frac{4a^2}{\sqrt{6a^2}} = \frac{4a^2}{a\sqrt{6}} = \frac{4a}{\sqrt{6}} = \frac{2a\sqrt{6}}{3} $$

Mệnh đề này là sai.

Mệnh đề d) Thể tích khối chóp $ S.ABCD $ bằng: $ \frac{\sqrt{2}a^3}{3} $

Thể tích khối chóp $ S.ABCD $ được tính bằng công thức:
$$ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} $$

Diện tích đáy $ ABCD $:
$$ S_{ABCD} = AB \times AD = a\sqrt{2} \times a = a^2\sqrt{2} $$

Chiều cao $ SA = 2a $.

Thể tích:
$$ V = \frac{1}{3} \times a^2\sqrt{2} \times 2a = \frac{2a^3\sqrt{2}}{3} $$

Mệnh đề này là đúng.

Kết luận

- Mệnh đề a) sai
- Mệnh đề b) sai
- Mệnh đề c) sai
- Mệnh đề d) đúng