Bxidjdhdgdy

Apple_RFIDPsZartZR4Cpt6lVzVjLVABw1

Mời bạn tham khảo:

a) Xác định tọa độ các điểm E, F.

Đường tròn tâm O(0,0), đường kính 8m nên bán kính $R=4$m. Phương trình đường tròn là $x^2 + y^2 = 16$.

Các điểm A, B, C, D là giao điểm của đường tròn với các trục tọa độ: $A(4, 0)$, $B(0, 4)$, $C(-4, 0)$, $D(0, -4)$.

Điểm E là điểm chính giữa của cung $\overarc{BC}$. Cung $\overarc{BC}$ nằm trong góc phần tư thứ hai. Điểm B ứng với góc $\frac{\pi}{2}$, điểm C ứng với góc $\pi$. Vậy điểm E ứng với góc $\frac{\frac{\pi}{2} + \pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$.

Tọa độ điểm E là $x_E = R \cos(\frac{3\pi}{4}) = 4(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\sqrt{2}$ và $y_E = R \sin(\frac{3\pi}{4}) = 4(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2}$. Vậy $E(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.

Điểm F là điểm chính giữa của cung $\overarc{DA}$. Cung $\overarc{DA}$ nằm trong góc phần tư thứ tư. Điểm D ứng với góc $\frac{3\pi}{2}$ (hoặc $-\frac{\pi}{2}$), điểm A ứng với góc $0$. Vậy điểm F ứng với góc $\frac{-\frac{\pi}{2} + 0}{2} = -\frac{\pi}{4}$.

Tọa độ điểm F là $x_F = R \cos(-\frac{\pi}{4}) = 4(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2}$ và $y_F = R \sin(-\frac{\pi}{4}) = 4(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\sqrt{2}$. Vậy $F(2\sqrt{2}; -2\sqrt{2})$.

Do đó, phát biểu a) là đúng.

b) Tìm $a+b$ biết $y = f(x) = ax^3 + bx$.

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tâm đối xứng là gốc tọa độ O, nên $f(x)$ là hàm số lẻ. Dạng của hàm số là $f(x) = ax^3 + bx$.

Đồ thị đi qua điểm $A(4, 0)$, nên $f(4) = 0$:

$a(4^3) + b(4) = 0 \implies 64a + 4b = 0 \implies b = -16a$.

Đồ thị đi qua điểm $E(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$, nên $f(-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$:

$a(-2\sqrt{2})^3 + b(-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

$a(-16\sqrt{2}) - b(2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

Chia cả hai vế cho $2\sqrt{2}$:

$-8a - b = 1$.

Thay $b = -16a$ vào phương trình trên:

$-8a - (-16a) = 1 \implies -8a + 16a = 1 \implies 8a = 1 \implies a = \frac{1}{8}$.

Suy ra $b = -16a = -16(\frac{1}{8}) = -2$.

Vậy hàm số là $f(x) = \frac{1}{8}x^3 - 2x$.

Khi đó $a+b = \frac{1}{8} + (-2) = \frac{1}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{15}{8}$.

Phát biểu b) nói $a+b = -15$. Do đó, phát biểu b) là sai.

c) Tính diện tích phần trồng hoa S.

Phần trồng hoa (phần gạch chéo) được giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$ và đường tròn $x^2+y^2=16$.

Diện tích phần trồng hoa S được tính bằng tổng diện tích của hai miền:

Miền 1: $-4 \le x \le 0$, diện tích là $\int_{-4}^{0} (f(x) - (-\sqrt{16-x^2})) dx = \int_{-4}^{0} (f(x) + \sqrt{16-x^2}) dx$.

Miền 2: $0 \le x \le 4$, diện tích là $\int_{0}^{4} (\sqrt{16-x^2} - f(x)) dx$.

Tổng diện tích là $S = \int_{-4}^{0} (f(x) + \sqrt{16-x^2}) dx + \int_{0}^{4} (\sqrt{16-x^2} - f(x)) dx$.

$S = \int_{-4}^{0} f(x) dx + \int_{-4}^{0} \sqrt{16-x^2} dx + \int_{0}^{4} \sqrt{16-x^2} dx - \int_{0}^{4} f(x) dx$.

Vì $f(x)$ là hàm lẻ nên $\int_{-4}^{0} f(x) dx = -\int_{0}^{4} f(x) dx$.

$S = -\int_{0}^{4} f(x) dx + (\int_{-4}^{0} \sqrt{16-x^2} dx + \int_{0}^{4} \sqrt{16-x^2} dx) - \int_{0}^{4} f(x) dx$.

$S = \int_{-4}^{4} \sqrt{16-x^2} dx - 2 \int_{0}^{4} f(x) dx$.

$\int_{-4}^{4} \sqrt{16-x^2} dx$ là diện tích nửa hình tròn bán kính $R=4$, bằng $\frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (4^2) = 8\pi$.

$\int_{0}^{4} f(x) dx = \int_{0}^{4} (\frac{1}{8}x^3 - 2x) dx = [\frac{1}{8}\frac{x^4}{4} - x^2]_{0}^{4} = [\frac{x^4}{32} - x^2]_{0}^{4} = (\frac{4^4}{32} - 4^2) - 0 = \frac{256}{32} - 16 = 8 - 16 = -8$.

Vậy $S = 8\pi - 2(-8) = 8\pi + 16$.

Phát biểu c) nói $S = 16 + 8\pi$ ($m^2$). Do đó, phát biểu c) là đúng.

d) Tính chi phí hoàn thành công trình.

Diện tích trồng hoa là $S_{hoa} = 16 + 8\pi$ ($m^2$).

Diện tích toàn bộ hình tròn là $S_{total} = \pi R^2 = \pi (4^2) = 16\pi$ ($m^2$).

Diện tích trồng cỏ là $S_{co} = S_{total} - S_{hoa} = 16\pi - (16 + 8\pi) = 8\pi - 16$ ($m^2$).

Chi phí trồng hoa là $C_{hoa} = S_{hoa} \times 180 = (16 + 8\pi) \times 180$ nghìn đồng.

Chi phí trồng cỏ là $C_{co} = S_{co} \times 100 = (8\pi - 16) \times 100$ nghìn đồng.

Tổng chi phí là $C_{total} = C_{hoa} + C_{co}$

$C_{total} = (16 + 8\pi) \times 180 + (8\pi - 16) \times 100$

$C_{total} = 2880 + 1440\pi + 800\pi - 1600$

$C_{total} = (2880 - 1600) + (1440 + 800)\pi = 1280 + 2240\pi$ nghìn đồng.

Sử dụng $\pi \approx 3.14159$:

$C_{total} \approx 1280 + 2240 \times 3.14159 \approx 1280 + 7037.16 = 8317.16$ nghìn đồng.

Làm tròn đến hàng nghìn (đơn vị nghìn đồng), ta được 8317 nghìn đồng.

Phát biểu d) nói chi phí là 8117 nghìn đồng. Do đó, phát biểu d) là sai.