Bxidjdhdgdy Câu 4. Chào mừng tháng Thanh niên. Đoàn trường THPT X,tổ chức cải tạo một khoảng đất trong khuôn viên nhà trường,có hình dạng là một đường tròn có đường kính 8m. Để tăng,,tính thẩm mỹ, khi thực hiện cải tạo đã chia mảnh đất đó,thành hai phần bằng một đường cong là một phần của đồ thị,hàm số bậc ba $y=f(x),$ phần gạch chéo dùng để trồng hoa,và phần còn lại dùng để trồng cỏ, được mô hình hóa trong,hệ trục Oxy như hình vẽ dưới đây.,Biết đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)$ có tâm đối xứng,trùng với gốc tọa độ; đi qua các điểm E,F lần lượt là các,điểm chính giữa của các cung $\overset\frown{BC},\overset\frown{DA}$ và đi qua các giao,điểm của đường tròn với trục Ox .,a) Tọa độ các điểm E,F là $E(-2\sqrt2;2\sqrt2),F(2\sqrt2;-2\sqrt2).$,b) Biết $y=f(x)=ax^3+bx.$ Khi đó $a+b=-15.$,c) Diện tích phần trồng hoa là $S=16+8\pi(m^2).$,d) Biết chi phí trồng hoa $1~m^2$ là 180 nghìn đồng, trồng cỏ $1~m^2$ là 100 nghìn đồng. Chi phí để hoàn thành

Question

Bxidjdhdgdy Câu 4. Chào mừng tháng Thanh niên. Đoàn trường THPT X,tổ chức cải tạo một khoảng đất trong khuôn viên nhà trường,có hình dạng là một đường tròn có đường kính 8m. Để tăng,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/5dba6535b1ae4136b86327534eae8490.jpg />,tính thẩm mỹ, khi thực hiện cải tạo đã chia mảnh đất đó,thành hai phần bằng một đường cong là một phần của đồ thị,hàm số bậc ba $y=f(x),$ phần gạch chéo dùng để trồng hoa,và phần còn lại dùng để trồng cỏ, được mô hình hóa trong,hệ trục Oxy như hình vẽ dưới đây.,Biết đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)$ có tâm đối xứng,trùng với gốc tọa độ; đi qua các điểm E,F lần lượt là các,điểm chính giữa của các cung $\overset\frown{BC},\overset\frown{DA}$ và đi qua các giao,điểm của đường tròn với trục Ox .,a) Tọa độ các điểm E,F là $E(-2\sqrt2;2\sqrt2),F(2\sqrt2;-2\sqrt2).$,b) Biết $y=f(x)=ax^3+bx.$ Khi đó $a+b=-15.$,c) Diện tích phần trồng hoa là $S=16+8\pi(m^2).$,d) Biết chi phí trồng hoa $1~m^2$ là 180 nghìn đồng, trồng cỏ $1~m^2$ là 100 nghìn đồng. Chi phí để hoàn thành

Accepted Answer

{"userId":5359153,"userName":"Apple_RFIDPsZartZR4Cpt6lVzVjLVABw1"}

Mời bạn tham khảo:

a) Xác định tọa độ các điểm E, F.

Đường tròn tâm O(0,0), đường kính 8m nên bán kính $R=4$m. Phương trình đường tròn là $x^2 + y^2 = 16$.

Các điểm A, B, C, D là giao điểm của đường tròn với các trục tọa độ: $A(4, 0)$, $B(0, 4)$, $C(-4, 0)$, $D(0, -4)$.

Điểm E là điểm chính giữa của cung $\overarc{BC}$. Cung $\overarc{BC}$ nằm trong góc phần tư thứ hai. Điểm B ứng với góc $\frac{\pi}{2}$, điểm C ứng với góc $\pi$. Vậy điểm E ứng với góc $\frac{\frac{\pi}{2} + \pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$.

Tọa độ điểm E là $x_E = R \cos(\frac{3\pi}{4}) = 4(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\sqrt{2}$ và $y_E = R \sin(\frac{3\pi}{4}) = 4(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2}$. Vậy $E(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.

Điểm F là điểm chính giữa của cung $\overarc{DA}$. Cung $\overarc{DA}$ nằm trong góc phần tư thứ tư. Điểm D ứng với góc $\frac{3\pi}{2}$ (hoặc $-\frac{\pi}{2}$), điểm A ứng với góc $0$. Vậy điểm F ứng với góc $\frac{-\frac{\pi}{2} + 0}{2} = -\frac{\pi}{4}$.

Tọa độ điểm F là $x_F = R \cos(-\frac{\pi}{4}) = 4(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2}$ và $y_F = R \sin(-\frac{\pi}{4}) = 4(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\sqrt{2}$. Vậy $F(2\sqrt{2}; -2\sqrt{2})$.

Do đó, phát biểu a) là đúng.

b) Tìm $a+b$ biết $y = f(x) = ax^3 + bx$.

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tâm đối xứng là gốc tọa độ O, nên $f(x)$ là hàm số lẻ. Dạng của hàm số là $f(x) = ax^3 + bx$.

Đồ thị đi qua điểm $A(4, 0)$, nên $f(4) = 0$:

$a(4^3) + b(4) = 0 \implies 64a + 4b = 0 \implies b = -16a$.

Đồ thị đi qua điểm $E(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$, nên $f(-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$:

$a(-2\sqrt{2})^3 + b(-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

$a(-16\sqrt{2}) - b(2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

Chia cả hai vế cho $2\sqrt{2}$:

$-8a - b = 1$.

Thay $b = -16a$ vào phương trình trên:

$-8a - (-16a) = 1 \implies -8a + 16a = 1 \implies 8a = 1 \implies a = \frac{1}{8}$.

Suy ra $b = -16a = -16(\frac{1}{8}) = -2$.

Vậy hàm số là $f(x) = \frac{1}{8}x^3 - 2x$.

Khi đó $a+b = \frac{1}{8} + (-2) = \frac{1}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{15}{8}$.

Phát biểu b) nói $a+b = -15$. Do đó, phát biểu b) là sai.

c) Tính diện tích phần trồng hoa S.

Phần trồng hoa (phần gạch chéo) được giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$ và đường tròn $x^2+y^2=16$.

Diện tích phần trồng hoa S được tính bằng tổng diện tích của hai miền:

Miền 1: $-4 \le x \le 0$, diện tích là $\int_{-4}^{0} (f(x) - (-\sqrt{16-x^2})) dx = \int_{-4}^{0} (f(x) + \sqrt{16-x^2}) dx$.

Miền 2: $0 \le x \le 4$, diện tích là $\int_{0}^{4} (\sqrt{16-x^2} - f(x)) dx$.

Tổng diện tích là $S = \int_{-4}^{0} (f(x) + \sqrt{16-x^2}) dx + \int_{0}^{4} (\sqrt{16-x^2} - f(x)) dx$.

$S = \int_{-4}^{0} f(x) dx + \int_{-4}^{0} \sqrt{16-x^2} dx + \int_{0}^{4} \sqrt{16-x^2} dx - \int_{0}^{4} f(x) dx$.

Vì $f(x)$ là hàm lẻ nên $\int_{-4}^{0} f(x) dx = -\int_{0}^{4} f(x) dx$.

$S = -\int_{0}^{4} f(x) dx + (\int_{-4}^{0} \sqrt{16-x^2} dx + \int_{0}^{4} \sqrt{16-x^2} dx) - \int_{0}^{4} f(x) dx$.

$S = \int_{-4}^{4} \sqrt{16-x^2} dx - 2 \int_{0}^{4} f(x) dx$.

$\int_{-4}^{4} \sqrt{16-x^2} dx$ là diện tích nửa hình tròn bán kính $R=4$, bằng $\frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (4^2) = 8\pi$.

$\int_{0}^{4} f(x) dx = \int_{0}^{4} (\frac{1}{8}x^3 - 2x) dx = [\frac{1}{8}\frac{x^4}{4} - x^2]_{0}^{4} = [\frac{x^4}{32} - x^2]_{0}^{4} = (\frac{4^4}{32} - 4^2) - 0 = \frac{256}{32} - 16 = 8 - 16 = -8$.

Vậy $S = 8\pi - 2(-8) = 8\pi + 16$.

Phát biểu c) nói $S = 16 + 8\pi$ ($m^2$). Do đó, phát biểu c) là đúng.

d) Tính chi phí hoàn thành công trình.

Diện tích trồng hoa là $S_{hoa} = 16 + 8\pi$ ($m^2$).

Diện tích toàn bộ hình tròn là $S_{total} = \pi R^2 = \pi (4^2) = 16\pi$ ($m^2$).

Diện tích trồng cỏ là $S_{co} = S_{total} - S_{hoa} = 16\pi - (16 + 8\pi) = 8\pi - 16$ ($m^2$).

Chi phí trồng hoa là $C_{hoa} = S_{hoa} imes 180 = (16 + 8\pi) imes 180$ nghìn đồng.

Chi phí trồng cỏ là $C_{co} = S_{co} imes 100 = (8\pi - 16) imes 100$ nghìn đồng.

Tổng chi phí là $C_{total} = C_{hoa} + C_{co}$

$C_{total} = (16 + 8\pi) imes 180 + (8\pi - 16) imes 100$

$C_{total} = 2880 + 1440\pi + 800\pi - 1600$

$C_{total} = (2880 - 1600) + (1440 + 800)\pi = 1280 + 2240\pi$ nghìn đồng.

Sử dụng $\pi \approx 3.14159$:

$C_{total} \approx 1280 + 2240 imes 3.14159 \approx 1280 + 7037.16 = 8317.16$ nghìn đồng.

Làm tròn đến hàng nghìn (đơn vị nghìn đồng), ta được 8317 nghìn đồng.

Phát biểu d) nói chi phí là 8117 nghìn đồng. Do đó, phát biểu d) là sai.