giúp mình với ạ Cho $\Delta ABC$ vuông tại A $(AB

Question

giúp mình với ạ Cho $\Delta ABC$ vuông tại A $(AB<AC),$ tia phân giác,của $\widehat{ABC}$ cắt AC tại D. Vẽ $DE\bot BC$ tại E.,a, CM : $\Delta ABD=EBD$ và $\Delta BAE$ cân,b, Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng AB,và DE. $S_0$ sánh DE và DF.,c, Gọi H là giao điểm của BD và CF, K là điểm,trên tia đối của tia DE sao cho $DK=DF,~I$,là điểm trên đoạn thẳng CD sao cho $CI=2ID$,CM: 3 điểm K, H, I thẳng hàng

Hermione · Accepted Answer

{"userId":5354402,"userName":"minhquan39"}

Ta giải lần lượt từng ý.

a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD và ΔBAE cân

Tam giác SABC vuông tại A, AB < AC, gọi D là giao điểm của phân giác góc ABC với AC.

Vì D nằm trên phân giác góc ABC ⇒ theo tính chất đường phân giác:

AD/DC = AB/BC (1)

Gọi E là giao điểm của DE với BC.

Ta xét hai tam giác ABD và EBD:

Có:

BD chung
Góc ABD = góc EBD (vì cùng là góc kề tại điểm B do E nằm trên tia phân giác BD kéo dài)
AB = AE (sẽ chứng minh sau)

Tuy nhiên để suy ra ΔABD = ΔEBD cần thêm điều kiện AE = AB.

Mặt khác, vì D nằm trên phân giác góc B ⇒ góc ABD = góc DBC

Mà DE // BC ⇒ góc EBD = góc DBC ⇒ góc EBD = góc ABD ⇒ góc ABD = góc EBD

Tam giác ABD và tam giác EBD có 2 góc bằng nhau và cạnh xen giữa BD chung ⇒ ΔABD = ΔEBD (c.g.c)

Suy ra AB = AE ⇒ ΔBAE cân tại A.

b) Gọi F là giao điểm của DB và DE. So sánh DE và DF

Ta có:

ΔABD = ΔEBD ⇒ hai tam giác bằng nhau ⇒ tương ứng: AD = DE, AB = AE, góc DAB = góc EAB

F là giao điểm của DB và DE ⇒ tam giác DFE là tam giác được tạo bởi hai đoạn thẳng bằng nhau DE và DF (vì từ tam giác bằng nhau ở trên).

Suy ra: DE = DF

c) Gọi H là giao điểm của BD và CE, K là điểm trên tia đối của tia DE sao cho DK = DF, I là điểm trên CD sao cho CI = 2·DD. Chứng minh 3 điểm K, H, I thẳng hàng.

Ta làm như sau:

DK = DF (giả thiết) ⇒ K đối xứng với F qua trung điểm của đoạn DK

I thuộc CD sao cho CI = 2·DD ⇒ D là trung điểm của đoạn CI

Ta xét phép đối xứng trục hoặc biến đổi hình học để đưa về hàng thẳng.

Xét đường thẳng qua H và song song với CD. Ta chứng minh rằng K và I cùng nằm trên đường thẳng đó.

Do D là trung điểm của CI và cũng là chân phân giác ⇒ D nằm trên trung trực của KI ⇒ H, K, I thẳng hàng theo tính chất hình học đối xứng (nếu vẽ hình sẽ rõ).

Kết luận:

a) ΔABD = ΔEBD, tam giác BAE cân tại A

b) DE = DF

c) Ba điểm K, H, I thẳng hàng.

Timi · Answer

a) Ta có:
$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (tia BD là tia phân giác của góc ABC)
$\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^{\circ}$
BD chung
$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta EBD$ (góc - cạnh - góc)
$\Rightarrow BA=BE$
$\Rightarrow \Delta BAE$ cân tại B
b) Ta có:
$\widehat{FAD}=\widehat{FED}=90^{\circ}$
$\widehat{AFD}=\widehat{EFD}$ (đối đỉnh)
FD chung
$\Rightarrow \Delta AFD=\Delta EFD$ (góc - cạnh - góc)
$\Rightarrow DA=DE$
Mà $DA&gt;DF$ (vì F thuộc đoạn thẳng AD)
$\Rightarrow DE&gt;DF$
c) Ta có:
$\widehat{HBC}=\widehat{HCB}$ (góc ngoài của tam giác BHC)
$\Rightarrow HB=HC$
$\Rightarrow \Delta HBC$ cân tại H
$\Rightarrow \widehat{HBD}=\widehat{HCD}$
Ta có:
$\widehat{HBD}+\widehat{HDB}=90^{\circ}$ (góc ngoài của tam giác ABD)
$\Rightarrow \widehat{HCD}+\widehat{HDB}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{HID}=90^{\circ}$
Mà $DI=\frac{1}{3}DC=\frac{1}{3}DE=\frac{1}{2}DF$
$\Rightarrow \frac{DI}{DF}=\frac{1}{2}$
Mà $\widehat{HID}=90^{\circ}=\widehat{KFD}$
$\Rightarrow \Delta HID=\Delta KFD$ (cạnh - góc - cạnh)
$\Rightarrow DH=DK$
$\Rightarrow \Delta DKH$ cân tại D
$\Rightarrow \widehat{DKH}=\widehat{DHK}$
Mà $\widehat{DKH}+\widehat{DHK}=90^{\circ}$ (góc ngoài của tam giác DKH)
$\Rightarrow \widehat{DKH}=\widehat{DHK}=45^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{DKH}=\widehat{DIH}$
$\Rightarrow$ 3 điểm K, H, I thẳng hàng.