nssnsnsjsnnssn Ví dụ 6.4.,Trong không gian Oxyz , cho $B(1;1;9),~C(1;4;0).$ Mặt cầu (S) đi qua B và tiếp xúc với,(Oxy) tại C có phương trình là?

Question

Accepted Answer

{"userId":5381757,"userName":"Tuấn Minh Trương"}

Mời bạn tham khảo:

Gọi tâm của mặt cầu $(S)$ là $I(a; b; c)$ và bán kính là $R$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.

Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$ (có phương trình $z=0$) tại điểm $C(1; 4; 0)$. Điều này có nghĩa là:

1. Tâm $I$ phải nằm trên đường thẳng đi qua $C$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Đường thẳng này có vectơ chỉ phương là $\vec{k}=(0; 0; 1)$ (vectơ pháp tuyến của $(Oxy)$) và đi qua $C(1; 4; 0)$. Do đó, tọa độ của tâm $I$ phải có dạng $I(1; 4; c)$.

2. Bán kính $R$ bằng khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(Oxy)$.

$R = d(I, (Oxy)) = \frac{|c|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = |c|$.

3. Bán kính $R$ cũng bằng khoảng cách từ tâm $I$ đến tiếp điểm $C$.

$R = IC = \sqrt{(1-1)^2 + (4-4)^2 + (c-0)^2} = \sqrt{0 + 0 + c^2} = |c|$.

Vì mặt cầu tiếp xúc với $(Oxy)$ tại $C(1; 4; 0)$ và đi qua điểm $B(1; 1; 9)$ (có $z_B = 9 > 0$), nên tâm $I(1; 4; c)$ phải có cao độ $c > 0$. Do đó, $R = c$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ trở thành $(x-1)^2 + (y-4)^2 + (z-c)^2 = c^2$.

Mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $B(1; 1; 9)$, nên tọa độ của $B$ phải thỏa mãn phương trình của mặt cầu:

$(1-1)^2 + (1-4)^2 + (9-c)^2 = c^2$

$0^2 + (-3)^2 + (9-c)^2 = c^2$

$9 + (81 - 18c + c^2) = c^2$

$90 - 18c + c^2 = c^2$

$90 - 18c = 0$

$18c = 90$

$c = \frac{90}{18}$

$c = 5$

Vì $c=5 > 0$, điều này phù hợp.

Vậy tâm mặt cầu là $I(1; 4; 5)$ và bán kính là $R = c = 5$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ là:

$(x-1)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2 = 5^2$

$(x-1)^2 + (y-4)^2 + (z-5)^2 = 25$