Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $I=\int^1_0\int^1_0\int^1_0\frac{\ln(1-xyz)}{1-xyz}$ dx dy dz

Question

Accepted Answer

Để tính tích phân bội ba $ I = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{\ln(1 - xyz)}{1 - xyz} \, dx \, dy \, dz $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Phân tích hàm dưới dấu tích phân:
   Hàm $ f(x, y, z) = \frac{\ln(1 - xyz)}{1 - xyz} $ có miền xác định $ 0 \leq x, y, z \leq 1 $. Ta thấy rằng $ 1 - xyz > 0 $ trong miền này, do đó hàm này xác định tốt.

2. Sử dụng phép đổi biến:
   Đặt $ t = xyz $. Khi đó, $ dt = yz \, dx + xz \, dy + xy \, dz $.

3. Tính tích phân theo thứ tự:
   Ta sẽ tính tích phân theo thứ tự $ x $, $ y $, $ z $.

- Bước 1: Tích phân theo $ x $:
     $$
     \int_0^1 \frac{\ln(1 - xyz)}{1 - xyz} \, dx
     $$
     Đặt $ u = 1 - xyz $, suy ra $ du = -yz \, dx $. Khi $ x = 0 $, $ u = 1 $; khi $ x = 1 $, $ u = 1 - yz $.

Do đó:
     $$
     \int_0^1 \frac{\ln(1 - xyz)}{1 - xyz} \, dx = \int_1^{1-yz} \frac{\ln(u)}{u} \cdot \left(-\frac{1}{yz}\right) \, du = \frac{1}{yz} \int_{1-yz}^1 \frac{\ln(u)}{u} \, du
     $$

Tích phân $ \int \frac{\ln(u)}{u} \, du $ có thể tính bằng phương pháp tích phân từng phần:
     $$
     \int \frac{\ln(u)}{u} \, du = \frac{(\ln(u))^2}{2} + C
     $$

Do đó:
     $$
     \int_{1-yz}^1 \frac{\ln(u)}{u} \, du = \left[ \frac{(\ln(u))^2}{2} \right]_{1-yz}^1 = \frac{(\ln(1))^2}{2} - \frac{(\ln(1-yz))^2}{2} = -\frac{(\ln(1-yz))^2}{2}
     $$

Vậy:
     $$
     \int_0^1 \frac{\ln(1 - xyz)}{1 - xyz} \, dx = \frac{1}{yz} \left( -\frac{(\ln(1-yz))^2}{2} \right) = -\frac{(\ln(1-yz))^2}{2yz}
     $$

- Bước 2: Tích phân theo $ y $:
     $$
     \int_0^1 -\frac{(\ln(1-yz))^2}{2yz} \, dy
     $$
     Đặt $ v = 1 - yz $, suy ra $ dv = -z \, dy $. Khi $ y = 0 $, $ v = 1 $; khi $ y = 1 $, $ v = 1 - z $.

Do đó:
     $$
     \int_0^1 -\frac{(\ln(1-yz))^2}{2yz} \, dy = \int_1^{1-z} -\frac{(\ln(v))^2}{2v} \cdot \left(-\frac{1}{z}\right) \, dv = \frac{1}{2z} \int_{1-z}^1 \frac{(\ln(v))^2}{v} \, dv
     $$

Tích phân $ \int \frac{(\ln(v))^2}{v} \, dv $ có thể tính bằng phương pháp tích phân từng phần:
     $$
     \int \frac{(\ln(v))^2}{v} \, dv = \frac{(\ln(v))^3}{3} + C
     $$

Do đó:
     $$
     \int_{1-z}^1 \frac{(\ln(v))^2}{v} \, dv = \left[ \frac{(\ln(v))^3}{3} \right]_{1-z}^1 = \frac{(\ln(1))^3}{3} - \frac{(\ln(1-z))^3}{3} = -\frac{(\ln(1-z))^3}{3}
     $$

Vậy:
     $$
     \int_0^1 -\frac{(\ln(1-yz))^2}{2yz} \, dy = \frac{1}{2z} \left( -\frac{(\ln(1-z))^3}{3} \right) = -\frac{(\ln(1-z))^3}{6z}
     $$

- Bước 3: Tích phân theo $ z $:
     $$
     \int_0^1 -\frac{(\ln(1-z))^3}{6z} \, dz
     $$
     Đặt $ w = 1 - z $, suy ra $ dw = -dz $. Khi $ z = 0 $, $ w = 1 $; khi $ z = 1 $, $ w = 0 $.

Do đó:
     $$
     \int_0^1 -\frac{(\ln(1-z))^3}{6z} \, dz = \int_1^0 -\frac{(\ln(w))^3}{6(1-w)} \cdot (-dw) = \frac{1}{6} \int_0^1 \frac{(\ln(w))^3}{1-w} \, dw
     $$

Tích phân $ \int \frac{(\ln(w))^3}{1-w} \, dw $ có thể tính bằng phương pháp tích phân từng phần:
     $$
     \int \frac{(\ln(w))^3}{1-w} \, dw = -\frac{(\ln(w))^4}{4} + C
     $$

Do đó:
     $$
     \int_0^1 \frac{(\ln(w))^3}{1-w} \, dw = \left[ -\frac{(\ln(w))^4}{4} \right]_0^1 = -\frac{(\ln(1))^4}{4} + \frac{(\ln(0))^4}{4} = 0
     $$

Vậy:
     $$
     \int_0^1 -\frac{(\ln(1-z))^3}{6z} \, dz = \frac{1}{6} \cdot 0 = 0
     $$

Do đó, tích phân bội ba $ I $ bằng 0:
$$
I = \boxed{0}
$$