Cho số thực dương a,b Nau 49: (0,5 điểm) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn $a+b+3ab=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của.,biểu thức $C=\frac{6ab}{a+b}-a^2-b^2$,-----HHết-----

Question

Timi · Accepted Answer

Điều kiện xác định: $a > 0, b > 0$.

Ta có:
$$ a + b + 3ab = 1 $$

Nhân cả hai vế với 3:
$$ 3(a + b) + 9ab = 3 $$

Từ đây ta có:
$$ 9ab = 3 - 3(a + b) $$
$$ ab = \frac{3 - 3(a + b)}{9} $$
$$ ab = \frac{1 - (a + b)}{3} $$

Biểu thức $ C $ được viết lại thành:
$$ C = \frac{6ab}{a + b} - a^2 - b^2 $$

Thay $ ab = \frac{1 - (a + b)}{3} $ vào biểu thức $ C $:
$$ C = \frac{6 \cdot \frac{1 - (a + b)}{3}}{a + b} - a^2 - b^2 $$
$$ C = \frac{2(1 - (a + b))}{a + b} - a^2 - b^2 $$
$$ C = \frac{2 - 2(a + b)}{a + b} - a^2 - b^2 $$
$$ C = \frac{2}{a + b} - 2 - a^2 - b^2 $$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ (a + b)^2 \geq 4ab $$

Do $ a + b + 3ab = 1 $, ta có:
$$ (a + b)^2 \geq 4 \left( \frac{1 - (a + b)}{3} \right) $$
$$ (a + b)^2 \geq \frac{4 - 4(a + b)}{3} $$
$$ 3(a + b)^2 \geq 4 - 4(a + b) $$
$$ 3(a + b)^2 + 4(a + b) - 4 \geq 0 $$

Gọi $ t = a + b $, ta có:
$$ 3t^2 + 4t - 4 \geq 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ 3t^2 + 4t - 4 = 0 $$
$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} $$
$$ t = \frac{-4 \pm 8}{6} $$
$$ t = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \quad \text{hoặc} \quad t = -2 $$

Vì $ t = a + b > 0 $, nên $ t = \frac{2}{3} $.

Khi $ t = \frac{2}{3} $:
$$ ab = \frac{1 - \frac{2}{3}}{3} = \frac{\frac{1}{3}}{3} = \frac{1}{9} $$

Thay vào biểu thức $ C $:
$$ C = \frac{2}{\frac{2}{3}} - 2 - a^2 - b^2 $$
$$ C = 3 - 2 - a^2 - b^2 $$
$$ C = 1 - a^2 - b^2 $$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$ a^2 + b^2 \geq 2ab $$
$$ a^2 + b^2 \geq 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9} $$

Do đó:
$$ C \leq 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} $$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $ C $ là $ \frac{7}{9} $, đạt được khi $ a = b = \frac{1}{3} $.

Đáp số: $ \frac{7}{9} $.