Cfccjjjjjcffff

Câu 2. a) Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $(SAB) \perp (ABCD)$ (dấu hiệu nhận biết mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng) b) Vì $BC \subset (ABCD)$ và $(SAB) \perp (ABCD)$ nên $BC \perp (SAB)$ c) Gọi O là trung điểm của BD. Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên góc giữa SC và (ABCD) bằng góc giữa SO và SC. Ta có $SO = SA = \sqrt{2}$ và $OC = \frac{BD}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Từ đó ta có $\frac{OC}{SO} = \frac{1}{2}$ nên góc giữa SO và SC bằng $30^0$. Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng $30^0$. d) Ta có $SA = SB = SD = \sqrt{2}$ và $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{2 + 2} = 2$. Vậy $SA \neq SC$. Câu 1. Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABCD: Vì đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3, nên diện tích đáy là: \[ S_{ABCD} = 3 \times 3 = 9 \] 2. Xác định chiều cao của khối chóp: Chiều cao của khối chóp S.ABCD là đoạn thẳng SA, và theo đề bài, \( SA = 5 \). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: Thể tích \( V \) của khối chóp được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times \text{chiều cao} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 9 \times 5 = \frac{45}{3} = 15 \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: \[ V = 15 \] Câu 2. Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ABCD. Góc này chính là góc giữa SB và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đáy, tức là góc SBA. Ta biết rằng SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD, do đó SA vuông góc với AB. Vì vậy, tam giác SAB là tam giác vuông tại A. Bây giờ, ta tính độ dài AB: - Vì đáy ABCD là hình vuông cạnh a, nên AB = a. Tiếp theo, ta tính độ dài SB: - Theo đề bài, SB = 2a. Bây giờ, ta tính cos của góc SBA: \[ \cos(\alpha) = \frac{AB}{SB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \] Vậy, giá trị của cos $\alpha$ là $\frac{1}{2}$. Đáp số: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ Câu 3. Để tìm khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (A'BC) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích hình tam giác \( A'BC \): - Ta biết rằng \( A'B = BC = CA' = 1 \) (vì lăng trụ tam giác đều). - Diện tích tam giác đều cạnh 1 là: \[ S_{A'BC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \] 2. Tính thể tích khối chóp \( A.A'BC \): - Thể tích khối chóp \( A.A'BC \) được tính bằng công thức: \[ V_{A.A'BC} = \frac{1}{3} \times S_{A'BC} \times h \] - Trong đó \( h \) là chiều cao từ đỉnh \( A \) hạ vuông góc xuống đáy \( A'BC \). 3. Tính thể tích khối chóp \( A.A'BC \) theo cách khác: - Ta cũng có thể tính thể tích khối chóp \( A.A'BC \) bằng cách lấy thể tích khối lăng trụ chia cho 3: \[ V_{A.A'BC} = \frac{1}{3} \times V_{ABC.A'B'C'} \] - Thể tích khối lăng trụ tam giác đều cạnh 1 là: \[ V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC} \times AA' = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \] - Vậy: \[ V_{A.A'BC} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{12} \] 4. Tìm khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng \( (A'BC) \): - Gọi khoảng cách này là \( d \), ta có: \[ V_{A.A'BC} = \frac{1}{3} \times S_{A'BC} \times d \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{\sqrt{3}}{12} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times d \] - Giải phương trình trên để tìm \( d \): \[ \frac{\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{12} \times d \] \[ d = 1 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (A'BC) \) là \( 1 \). Đáp số: \( d = 1 \) Câu 4. Trước tiên, ta xác định góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABD. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có SO vuông góc với BD (vì SO vuông góc với đáy ABCD). Do đó, góc SOA là góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABD. Ta tính SO: \[ SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{(a\sqrt{6})^2 - (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{6a^2 - 2a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] Vậy tang của góc SOA là: \[ \tan(\angle SOA) = \frac{SO}{OA} = \frac{2a}{a\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.41 \] Đáp số: $\sqrt{2} \approx 1.41$ Câu 1. Để tính gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 3 \) giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời của vật: Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( S(t) \). \[ S(t) = t^4 - 3t^3 - 3t^2 + 2t + 1 \] Ta tính đạo hàm của \( S(t) \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = 4t^3 - 9t^2 - 6t + 2 \] 2. Tìm gia tốc tức thời của vật: Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \). Ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 12t^2 - 18t - 6 \] 3. Tính gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \) giây: Thay \( t = 3 \) vào phương trình gia tốc tức thời: \[ a(3) = 12(3)^2 - 18(3) - 6 \] \[ a(3) = 12 \cdot 9 - 18 \cdot 3 - 6 \] \[ a(3) = 108 - 54 - 6 \] \[ a(3) = 48 \text{ m/s}^2 \] Vậy gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 3 \) giây là \( 48 \text{ m/s}^2 \). Câu 2. Để tính đạo hàm của hàm số \( f(x) = 2x^3 + 1 \) tại điểm \( x_0 = 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). Hàm số \( f(x) = 2x^3 + 1 \). Áp dụng công thức đạo hàm của hàm đa thức, ta có: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) + \frac{d}{dx}(1) \] Ta biết rằng đạo hàm của \( x^n \) là \( nx^{n-1} \) và đạo hàm của hằng số là 0. Do đó: \[ \frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2 \] \[ \frac{d}{dx}(1) = 0 \] Vậy đạo hàm của hàm số \( f(x) \) là: \[ f'(x) = 6x^2 \] Bước 2: Thay \( x_0 = 2 \) vào đạo hàm \( f'(x) \). \[ f'(2) = 6(2)^2 = 6 \cdot 4 = 24 \] Vậy đạo hàm của hàm số \( f(x) = 2x^3 + 1 \) tại điểm \( x_0 = 2 \) là 24. Đáp số: \( f'(2) = 24 \). Câu 3. Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình chóp S.ABCD. - Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. - Mặt phẳng (SAB) và (SBC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). - SC = a√5. Ta cần tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC). Bước 1: Xác định trực tâm H của tam giác SAC. Do (SAB) và (SBC) cùng vuông góc với (ABCD), nên SB là đường cao chung của cả hai mặt phẳng này hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Do đó, SB vuông góc với AB và BC. Bước 2: Xác định khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC). Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) chính là khoảng cách từ D đến trực tâm H của tam giác SAC. Bước 3: Xác định tọa độ của các điểm. - Gọi O là trung điểm của AC, do đó O cũng là trung điểm của BD. - Ta có OA = OC = OB = OD = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Bước 4: Xác định tọa độ của điểm H. Do SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SB vuông góc với AC. Do đó, H nằm trên đường thẳng SO. Bước 5: Xác định khoảng cách từ D đến H. Khoảng cách từ D đến H chính là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC). Ta có: \[ SD^2 = SO^2 + OD^2 \] \[ SO^2 = SC^2 - OC^2 = (a\sqrt{5})^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = 5a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{9a^2}{2} \] \[ SO = \frac{3a}{\sqrt{2}} = \frac{3a\sqrt{2}}{2} \] \[ SD^2 = (\frac{3a\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{9a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = 5a^2 \] \[ SD = a\sqrt{5} \] Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) là khoảng cách từ D đến H, tức là khoảng cách từ D đến SO. \[ DH = \frac{OD \cdot SO}{SD} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{5}} = \frac{3a^2}{4a\sqrt{5}} = \frac{3a}{4\sqrt{5}} = \frac{3a\sqrt{5}}{20} \] Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) là $\frac{3a\sqrt{5}}{20}$. Câu 3. Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy (SBC): - Ta biết rằng chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều ABC với cạnh a và cạnh bên 2a. - Diện tích tam giác đều ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] 2. Tính thể tích chóp S.ABC: - Gọi H là trung điểm của BC, ta có SH vuông góc với mặt đáy ABC. - Độ dài SH được tính bằng công thức: \[ SH = \sqrt{(SA)^2 - (AH)^2} \] Trong đó, SA = 2a và AH là đường cao của tam giác đều ABC: \[ AH = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] Do đó: \[ SH = \sqrt{(2a)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)^2} = \sqrt{4a^2 - \frac{3}{4} a^2} = \sqrt{\frac{16a^2 - 3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} a \] - Thể tích chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SH = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times \frac{\sqrt{13}}{2} a = \frac{\sqrt{39}}{24} a^3 \] 3. Tính diện tích tam giác SBC: - Tam giác SBC cũng là tam giác đều với cạnh 2a. - Diện tích tam giác SBC là: \[ S_{SBC} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2a)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4a^2 = \sqrt{3} a^2 \] 4. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC): - Gọi d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Ta có thể tính d thông qua thể tích chóp S.ABC và diện tích tam giác SBC: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ \frac{\sqrt{39}}{24} a^3 = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} a^2 \times d \] Giải phương trình này để tìm d: \[ \frac{\sqrt{39}}{24} a^3 = \frac{\sqrt{3}}{3} a^2 \times d \] \[ d = \frac{\sqrt{39}}{24} a^3 \times \frac{3}{\sqrt{3} a^2} = \frac{\sqrt{39}}{8} a \] Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là: \[ d = \frac{\sqrt{39}}{8} a \] Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ dài đáy trên của chóp cụt: - Gọi độ dài đáy trên là \( a \). - Độ dài đáy dưới là \( A = 55,3 \) m. - Chiều cao chóp cụt là \( h = 24 \) m. - Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là \( \alpha = 47^\circ \). 2. Tính độ dài đoạn thẳng từ tâm đáy dưới lên tâm đáy trên: - Gọi độ dài đoạn thẳng từ tâm đáy dưới lên tâm đáy trên là \( d \). - Ta có \( d = h \cdot \tan(47^\circ) \). 3. Tính độ dài đáy trên: - Độ dài đáy trên \( a \) sẽ bằng độ dài đáy dưới trừ đi hai lần độ dài đoạn thẳng từ tâm đáy dưới lên tâm đáy trên. - \( a = A - 2d \). Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính cụ thể: - Tính \( d \): \[ d = 24 \cdot \tan(47^\circ) \] Sử dụng máy tính để tìm giá trị của \( \tan(47^\circ) \): \[ \tan(47^\circ) \approx 1,07236871 \] Do đó: \[ d = 24 \cdot 1,07236871 \approx 25,73684904 \text{ m} \] - Tính độ dài đáy trên \( a \): \[ a = 55,3 - 2 \cdot 25,73684904 \approx 55,3 - 51,47369808 \approx 3,82630192 \text{ m} \] Vậy độ dài đáy trên của chóp cụt là khoảng 3,83 m. Đáp số: Độ dài đáy trên của chóp cụt là khoảng 3,83 m.