Câu 1. Một đội có 8 bạn nam và 8 bạn nữ trong đó có bạn nam tên Tân và bạn nữ tên Cúc. Số cách chọn ra 3 bạn nam và 2 bạn nữ trong đó Tân và Cúc không đồng thời cùng có mặt là m. Tổng các chữ số của m...

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách chọn 3 bạn nam từ 8 bạn nam. 2. Tính tổng số cách chọn 2 bạn nữ từ 8 bạn nữ. 3. Tính tổng số cách chọn 3 bạn nam và 2 bạn nữ. 4. Tính số cách chọn 3 bạn nam và 2 bạn nữ trong đó Tân và Cúc đều có mặt. 5. Tính số cách chọn 3 bạn nam và 2 bạn nữ trong đó Tân và Cúc không đồng thời cùng có mặt. 6. Tìm tổng các chữ số của kết quả. Bước 1: Tính tổng số cách chọn 3 bạn nam từ 8 bạn nam. \[ C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] Bước 2: Tính tổng số cách chọn 2 bạn nữ từ 8 bạn nữ. \[ C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \] Bước 3: Tính tổng số cách chọn 3 bạn nam và 2 bạn nữ. \[ 56 \times 28 = 1568 \] Bước 4: Tính số cách chọn 3 bạn nam và 2 bạn nữ trong đó Tân và Cúc đều có mặt. - Chọn Tân (1 bạn nam đã chọn), còn lại chọn 2 bạn nam từ 7 bạn nam còn lại: \[ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] - Chọn Cúc (1 bạn nữ đã chọn), còn lại chọn 1 bạn nữ từ 7 bạn nữ còn lại: \[ C_7^1 = 7 \] - Số cách chọn 3 bạn nam và 2 bạn nữ trong đó Tân và Cúc đều có mặt: \[ 21 \times 7 = 147 \] Bước 5: Tính số cách chọn 3 bạn nam và 2 bạn nữ trong đó Tân và Cúc không đồng thời cùng có mặt. \[ 1568 - 147 = 1421 \] Bước 6: Tìm tổng các chữ số của kết quả. \[ 1 + 4 + 2 + 1 = 8 \] Vậy tổng các chữ số của m là 8. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của bạn Hiếu: Bạn Hiếu luôn đứng giữa hai bạn nữ. Điều này có nghĩa là bạn Hiếu phải đứng ở vị trí thứ 2 hoặc thứ 5 trong hàng ngang (vì chỉ có 3 bạn nữ, nên bạn Hiếu phải đứng giữa hai bạn nữ). 2. Xét trường hợp bạn Hiếu đứng ở vị trí thứ 2: - Vị trí thứ 1 và thứ 3 phải là hai bạn nữ. - Số cách chọn 2 bạn nữ từ 3 bạn nữ là \( \binom{3}{2} \times 2! = 3 \times 2 = 6 \) cách. - Số cách sắp xếp 2 bạn nam còn lại ở vị trí thứ 4 và thứ 6 là \( 2! = 2 \) cách. - Số cách sắp xếp bạn nữ còn lại ở vị trí thứ 5 là 1 cách. - Tổng số cách trong trường hợp này là \( 6 \times 2 \times 1 = 12 \) cách. 3. Xét trường hợp bạn Hiếu đứng ở vị trí thứ 5: - Vị trí thứ 4 và thứ 6 phải là hai bạn nữ. - Số cách chọn 2 bạn nữ từ 3 bạn nữ là \( \binom{3}{2} \times 2! = 3 \times 2 = 6 \) cách. - Số cách sắp xếp 2 bạn nam còn lại ở vị trí thứ 1 và thứ 3 là \( 2! = 2 \) cách. - Số cách sắp xếp bạn nữ còn lại ở vị trí thứ 2 là 1 cách. - Tổng số cách trong trường hợp này là \( 6 \times 2 \times 1 = 12 \) cách. 4. Tổng hợp các trường hợp: - Tổng số cách xếp bạn Hiếu luôn đứng giữa hai bạn nữ là \( 12 + 12 = 24 \) cách. 5. Tính tổng các chữ số của m: - Số m là 24. - Tổng các chữ số của 24 là \( 2 + 4 = 6 \). Vậy, tổng các chữ số của m là 6. Đáp số: 6