Giải bài tập

Câu 1. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = 5^x \), ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm mũ cơ bản. Công thức đạo hàm của hàm số \( y = a^x \) là: \[ y' = a^x \cdot \ln(a) \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln(a) \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( y = 5^x \): \[ y' = 5^x \cdot \ln(5) \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( 5^x \cdot \ln(5) \) Đáp án: B. \( 5^x \cdot \ln(5) \) Câu 2 Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = ax + b + \frac{m}{cx + d} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \left( ax + b + \frac{m}{cx + d} \right) \] Ta thấy rằng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{m}{cx + d} = 0 \] Do đó: \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} (ax + b) = ax + b \] 2. Tìm giới hạn của hiệu giữa hàm số và đường thẳng \( y = ax + b \): \[ \lim_{x \to \infty} \left( y - (ax + b) \right) = \lim_{x \to \infty} \left( ax + b + \frac{m}{cx + d} - (ax + b) \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{m}{cx + d} = 0 \] Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = ax + b + \frac{m}{cx + d} \) là \( y = ax + b \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( y = ax + b \). Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ dựa vào tính chất của đạo hàm để xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số. - Nếu đạo hàm của hàm số \( f'(x) > 0 \) trên một khoảng, thì hàm số đó đồng biến trên khoảng đó. - Nếu đạo hàm của hàm số \( f'(x) < 0 \) trên một khoảng, thì hàm số đó nghịch biến trên khoảng đó. Theo đề bài: - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (0;1) \), do đó hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (0;1) \). - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (1;2) \), do đó hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (1;2) \). Vậy phát biểu đúng là: C. Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (0;1) \) và nghịch biến trên khoảng \( (1;2) \). Đáp án: C. Câu 4. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần tìm các khoảng mà đạo hàm \( f'(x) \) nhỏ hơn 0. Bước 1: Xác định đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = x^2 - 5x - 6 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ x^2 - 5x - 6 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -6 \): \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng giữa các nghiệm: - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \), chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2)^2 - 5(-2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 > 0 \] - Trên khoảng \( (-1, 6) \), chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = 0^2 - 5(0) - 6 = -6 < 0 \] - Trên khoảng \( (6, +\infty) \), chọn \( x = 7 \): \[ f'(7) = 7^2 - 5(7) - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 > 0 \] Bước 4: Kết luận khoảng nghịch biến: Hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, 6) \). Vậy đáp án đúng là: B. \( (-1, 6) \). Câu 5 Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) dựa trên các điều kiện đã cho. 1. Xác định cực đại và cực tiểu: - Điều kiện thứ nhất: \( f(x) < f(0) \) cho mọi \( x \in (-1, 1) \setminus \{0\} \). Điều này cho thấy rằng tại \( x = 0 \), hàm số đạt giá trị lớn nhất trong khoảng mở \( (-1, 1) \). Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Điều kiện thứ hai: \( f(x) > f(2) \) cho mọi \( x \in (1, 3) \setminus \{2\} \). Điều này cho thấy rằng tại \( x = 2 \), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trong khoảng mở \( (1, 3) \). Do đó, \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. 2. Kiểm tra các phát biểu: - A. \( x_{CT} = 0, x_{CD} = 2 \): Đúng vì \( x = 0 \) là điểm cực đại và \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. - B. \( x_{CT} = 2, x_{CD} = 0 \): Sai vì \( x = 2 \) là điểm cực tiểu và \( x = 0 \) là điểm cực đại. - C. \( x_{CT} = -1, x_{CD} = 3 \): Sai vì \( x = -1 \) và \( x = 3 \) không phải là điểm cực trị theo các điều kiện đã cho. - D. \( x_{CT} = 3, x_{CD} = -1 \): Sai vì \( x = 3 \) và \( x = -1 \) không phải là điểm cực trị theo các điều kiện đã cho. Vậy phát biểu đúng là: A. \( x_{CT} = 0, x_{CD} = 2 \). Đáp án: A. \( x_{CT} = 0, x_{CD} = 2 \).