Giúp mình với!

Câu 31. Để tìm vận tốc của chất điểm tại thời điểm \( t_0 = 2 \) giây, ta cần tính đạo hàm của phương trình chuyển động \( s = 2t^2 + 3t \) theo thời gian \( t \). Bước 1: Tính đạo hàm của phương trình chuyển động \( s \): \[ v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 + 3t) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ \frac{d}{dt}(2t^2) = 4t \] \[ \frac{d}{dt}(3t) = 3 \] Do đó: \[ v = 4t + 3 \] Bước 2: Thay \( t_0 = 2 \) vào phương trình vận tốc: \[ v(2) = 4(2) + 3 = 8 + 3 = 11 \text{ m/s} \] Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm \( t_0 = 2 \) giây là 11 m/s. Đáp án đúng là: B. 11 (m/s). Câu 32. Để tìm thời điểm mà chuyển động có vận tốc bằng 9 m/s, ta cần tính đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \) để tìm được phương trình vận tốc \( v(t) \). Phương trình chuyển động đã cho là: \[ s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 - 7t + 2 \] Tính đạo hàm của \( s(t) \) để tìm vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3 - 3t^2 - 7t + 2\right) \] \[ v(t) = t^2 - 6t - 7 \] Bây giờ, ta cần tìm thời điểm \( t \) sao cho \( v(t) = 9 \): \[ t^2 - 6t - 7 = 9 \] \[ t^2 - 6t - 16 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -6 \), và \( c = -16 \): \[ t = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} \] \[ t = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} \] \[ t = \frac{6 \pm 10}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ t = \frac{6 + 10}{2} = 8 \] \[ t = \frac{6 - 10}{2} = -2 \] Vì thời gian \( t \) không thể là số âm, ta loại bỏ nghiệm \( t = -2 \). Vậy thời điểm chuyển động có vận tốc bằng 9 m/s là: \[ t = 8 \text{ (giây)} \] Đáp án đúng là: D. \( t = 8 \text{ (giây)} \) Câu 33. Để tìm thời điểm \( t \) mà vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \). Do đó, ta tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ s(t) = 1 + 3t^2 - t^3 \] \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = 6t - 3t^2 \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc đạt cực đại: Để tìm thời điểm mà vận tốc đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(6t - 3t^2) = 6 - 6t \] \[ 6 - 6t = 0 \] \[ t = 1 \] 3. Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại điểm \( t = 1 \): Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \) để xác định tính chất của điểm cực trị: \[ v''(t) = \frac{d}{dt}(6 - 6t) = -6 \] Vì \( v''(t) = -6 < 0 \), nên \( t = 1 \) là điểm cực đại của \( v(t) \). Do đó, vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi \( t = 1 \). Đáp án đúng là: B. \( t = 1 \) Câu 34. Để tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời \( v(t) \): Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( S(t) \). \[ S(t) = 2t^4 + 6t^2 - 3t - 1 \] Ta tính đạo hàm của \( S(t) \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^4 + 6t^2 - 3t - 1) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ v(t) = 8t^3 + 12t - 3 \] 2. Tìm gia tốc tức thời \( a(t) \): Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \). \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t^3 + 12t - 3) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ a(t) = 24t^2 + 12 \] 3. Tính gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \) giây: Thay \( t = 3 \) vào phương trình gia tốc: \[ a(3) = 24(3)^2 + 12 \] Tính toán: \[ a(3) = 24 \times 9 + 12 = 216 + 12 = 228 \text{ (m/s}^2\text{)} \] Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) giây là \( 228 \text{ m/s}^2 \). Đáp án đúng là: B. 228 (m/s²). Câu 35. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm gia tốc của vật: Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. Trước tiên, chúng ta cần tìm vận tốc của vật bằng cách lấy đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \). Phương trình chuyển động: \[ s(t) = \frac{1}{3} t^3 - 3t^2 + 36t \] Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{3} t^3 - 3t^2 + 36t \right) = t^2 - 6t + 36 \] 2. Tìm gia tốc của vật: Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{d}{dt} (t^2 - 6t + 36) = 2t - 6 \] 3. Xác định thời điểm gia tốc triệt tiêu: Gia tốc triệt tiêu tức là gia tốc bằng 0: \[ 2t - 6 = 0 \] Giải phương trình này: \[ 2t = 6 \implies t = 3 \] 4. Tìm vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu: Thay \( t = 3 \) vào phương trình vận tốc \( v(t) \): \[ v(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 36 = 9 - 18 + 36 = 27 \] Vậy vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là \( 27 \, \text{m/s} \). Đáp án đúng là: A. \( 27 \, \text{m/s} \). Câu 36. Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M (2, f(2)) bằng giá trị của đạo hàm tại điểm đó. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M (2, f(2)) bằng: f'(2) = 6 Đáp án đúng là: A Câu 37. Để tìm số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^2 + 1 \) tại điểm có hoành độ \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của \( y = x^2 + 1 \) là: \[ y' = 2x \] 2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm \( x = 2 \): Thay \( x = 2 \) vào đạo hàm: \[ y'(2) = 2 \cdot 2 = 4 \] 3. Số góc của tiếp tuyến: Số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \( x = 2 \) chính là giá trị của đạo hàm tại điểm đó, tức là: \[ 4 \] Vậy đáp án đúng là: B. 4 Đáp số: B. 4 Câu 38. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ tại điểm $M(-2, 2)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$. Ta có: \[ y' = \left( \frac{x}{x + 1} \right)' = \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} \] Bước 2: Thay tọa độ của điểm $M(-2, 2)$ vào đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. \[ y'(-2) = \frac{1}{(-2 + 1)^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ tại điểm $M(-2, 2)$ là 1. Đáp án đúng là: D. 1. Câu 39. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \frac{4}{x}$ tại điểm $M(4;2)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{4}{x}$. \[ y' = \left(\frac{4}{x}\right)' = -\frac{4}{x^2} \] Bước 2: Thay tọa độ của điểm $M(4;2)$ vào đạo hàm để tìm giá trị của hệ số góc tại điểm đó. \[ y'(4) = -\frac{4}{4^2} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4} \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \frac{4}{x}$ tại điểm $M(4;2)$ là $-\frac{1}{4}$. Đáp án đúng là: B. $-\frac{1}{4}$. Câu 40. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{4}{4-x} \) tại điểm có tung độ bằng -4, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hoành độ của điểm có tung độ bằng -4: Ta có: \[ f(x) = -4 \] Thay vào phương trình hàm số: \[ \frac{4}{4-x} = -4 \] Nhân cả hai vế với \(4 - x\): \[ 4 = -4(4 - x) \] Giải phương trình này: \[ 4 = -16 + 4x \] \[ 4 + 16 = 4x \] \[ 20 = 4x \] \[ x = 5 \] 2. Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \): Ta có: \[ f(x) = \frac{4}{4-x} \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{4-x}\right) = \frac{0 \cdot (4-x) - 4 \cdot (-1)}{(4-x)^2} = \frac{4}{(4-x)^2} \] 3. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm \( x = 5 \): Thay \( x = 5 \) vào đạo hàm: \[ f'(5) = \frac{4}{(4-5)^2} = \frac{4}{(-1)^2} = \frac{4}{1} = 4 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{4}{4-x} \) tại điểm có tung độ bằng -4 là 4. Đáp án đúng là: A. 4.