geiwgwivwkkw

Câu 13. Để giải quyết bộ câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề. Mệnh đề (a): Số phần tử của không gian mẫu là \( n(\Omega) = C^4_{52} = 270725 \). - Ta tính số cách chọn 4 quân bài từ 52 quân bài: \[ n(\Omega) = C^4_{52} = \frac{52!}{4!(52-4)!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725 \] Mệnh đề này đúng. Mệnh đề (b): Số phần tử của biến cố B là \( n(B) = C^4_{48} = 194580 \). - Biến cố B là "4 quân bài rút ra có ít nhất một con Q". Để tính số phần tử của biến cố B, ta cần tính số cách chọn 4 quân bài từ 48 quân bài không có Q, rồi trừ đi từ tổng số cách chọn 4 quân bài từ 52 quân bài. Số cách chọn 4 quân bài từ 48 quân bài không có Q: \[ n(B') = C^4_{48} = \frac{48!}{4!(48-4)!} = \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 194580 \] Số cách chọn 4 quân bài từ 52 quân bài: \[ n(\Omega) = 270725 \] Số cách chọn 4 quân bài có ít nhất một con Q: \[ n(B) = n(\Omega) - n(B') = 270725 - 194580 = 76145 \] Mệnh đề này sai vì \( n(B) = 76145 \), không phải \( 194580 \). Mệnh đề (c): Xác suất của biến cố A là \( P(A) = \frac{4}{270725} \). - Biến cố A là "Rút ra được tứ quý 3". Có 4 quân bài 3 trong bộ bài, nên có duy nhất 1 cách để rút được tứ quý 3. Số cách rút được tứ quý 3: \[ n(A) = 1 \] Xác suất của biến cố A: \[ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{1}{270725} \] Mệnh đề này sai vì \( P(A) = \frac{1}{270725} \), không phải \( \frac{4}{270725} \). Mệnh đề (d): Xác suất của biến cố B là \( P(B) = \frac{15229}{54145} \). - Ta đã tính \( n(B) = 76145 \) ở trên. Xác suất của biến cố B: \[ P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{76145}{270725} = \frac{15229}{54145} \] Mệnh đề này đúng. Kết luận: - Mệnh đề (a) đúng. - Mệnh đề (b) sai. - Mệnh đề (c) sai. - Mệnh đề (d) đúng. Câu 14. Để giải quyết các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề (a): Đường tròn $(C):~(x-1)^2+(y+2)^2=25$ có tâm $I(1,-2)$ và bán kính $R=5$. Mệnh đề này sai vì tâm của đường tròn $(C)$ là $I(1,-2)$, không phải $I(-1,2)$. Mệnh đề (b): Khoảng cách từ tâm của (C) đến đường thẳng $\Delta:~x-y-9=0$ được tính bằng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó, $(x_0, y_0)$ là tọa độ tâm của đường tròn, và $a$, $b$, $c$ là các hệ số của phương trình đường thẳng. Áp dụng vào bài toán: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) - 9|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 + 2 - 9|}{\sqrt{2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \] Mệnh đề này đúng. Mệnh đề (c): Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm $A(-3,1)$ được tìm bằng cách sử dụng công thức tiếp tuyến của đường tròn: \[ (x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = R^2 \] Trong đó, $(a,b)$ là tâm của đường tròn, $(x_1,y_1)$ là điểm tiếp xúc, và $R$ là bán kính. Áp dụng vào bài toán: \[ (x - 1)(-3 - 1) + (y + 2)(1 + 2) = 25 \] \[ (x - 1)(-4) + (y + 2)(3) = 25 \] \[ -4x + 4 + 3y + 6 = 25 \] \[ -4x + 3y + 10 = 25 \] \[ -4x + 3y = 15 \] \[ 4x - 3y + 15 = 0 \] Mệnh đề này sai vì phương trình tiếp tuyến đúng là $4x - 3y + 15 = 0$, không phải $4x + 3y + 9 = 0$. Mệnh đề (d): Độ dài dây cung được tính bằng công thức: \[ l = 2 \sqrt{R^2 - d^2} \] Trong đó, $R$ là bán kính của đường tròn và $d$ là khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng. Áp dụng vào bài toán: \[ l = 2 \sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = 2 \sqrt{25 - 18} = 2 \sqrt{7} \] Mệnh đề này sai vì độ dài dây cung là $2\sqrt{7}$, không phải $2\sqrt{5}$. Kết luận: - Mệnh đề (a) sai. - Mệnh đề (b) đúng. - Mệnh đề (c) sai. - Mệnh đề (d) sai. Đáp án: (a) Sai, (b) Đúng, (c) Sai, (d) Sai. Câu 15. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp "tìm số cách chọn ít nhất" bằng cách tính tổng số cách chọn và trừ đi số cách chọn không thỏa mãn điều kiện. Bước 1: Tính tổng số cách chọn 3 người từ 14 học sinh. Tổng số cách chọn 3 người từ 14 học sinh là: \[ C_{14}^3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 364 \] Bước 2: Tính số cách chọn 3 người đều là nữ. Số cách chọn 3 người từ 8 nữ là: \[ C_{8}^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] Bước 3: Tính số cách chọn 3 người có ít nhất 1 nam. Số cách chọn 3 người có ít nhất 1 nam là: \[ 364 - 56 = 308 \] Vậy số cách chọn một ban cán sự lớp gồm 3 người, trong đó có ít nhất 1 nam là 308. Đáp số: 308 Câu 6. Để tìm khoảng cách từ tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương, chúng ta cần xác định các thông số của hypebol đã cho. Phương trình của hypebol là: \[ \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1 \] Từ phương trình này, ta nhận thấy rằng: - \( a^2 = 25 \) nên \( a = 5 \) - \( b^2 = 16 \) nên \( b = 4 \) Trong một hypebol, khoảng cách từ tâm đến mỗi đỉnh là \( a \). Do đó, khoảng cách từ tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương là \( a = 5 \). Vậy, khoảng cách từ tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương là 5 đơn vị. Đáp số: 5