ahvjspaauwi

Câu 17. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất của sự kiện "mặt bốn chấm xuất hiện cả 3 lần" khi gieo một con súc sắc 3 lần. Bước 1: Xác định tổng số kết quả có thể xảy ra khi gieo một con súc sắc 3 lần. - Mỗi lần gieo súc sắc có 6 kết quả có thể xảy ra (từ 1 đến 6). - Vậy khi gieo 3 lần, tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216 \] Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi cho sự kiện "mặt bốn chấm xuất hiện cả 3 lần". - Chỉ có một kết quả thuận lợi duy nhất là (4, 4, 4). Bước 3: Tính xác suất của sự kiện "mặt bốn chấm xuất hiện cả 3 lần". - Xác suất của một sự kiện là tỉ số giữa số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả có thể xảy ra. \[ P(\text{sự kiện}) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{1}{216} \] Bước 4: So sánh với dạng $\frac{1}{a}$ để tìm giá trị của a. - Ta thấy rằng xác suất đã tính là $\frac{1}{216}$, do đó giá trị của a là 216. Đáp số: a = 216. Câu 18. Để viết phương trình đường thẳng BC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm M: Vì M là trung điểm của BC và thuộc đường thẳng \(d: x - y - 2 = 0\), ta có: \[ M(x_M, y_M) \] Thay vào phương trình đường thẳng \(d\): \[ x_M - y_M - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_M = y_M + 2 \] 2. Tìm tọa độ điểm A: Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) \] Biết rằng \(G(3, 2)\), ta có: \[ \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = 3 \quad \Rightarrow \quad x_A + x_B + x_C = 9 \] \[ \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = 2 \quad \Rightarrow \quad y_A + y_B + y_C = 6 \] 3. Tìm tọa độ điểm B và C: Vì tam giác ABC cân tại A, ta có: \[ AB = AC \] Ta cũng biết rằng M là trung điểm của BC, nên: \[ x_B + x_C = 2x_M \quad \text{và} \quad y_B + y_C = 2y_M \] Thay vào phương trình tổng tọa độ: \[ x_A + 2x_M = 9 \quad \Rightarrow \quad x_A = 9 - 2x_M \] \[ y_A + 2y_M = 6 \quad \Rightarrow \quad y_A = 6 - 2y_M \] 4. Tìm phương trình đường thẳng d': Đường thẳng d' song song với BC và đi qua điểm N(5, 4). Ta cần tìm phương trình của d'. Vì d' song song với BC, chúng có cùng hệ số góc. Ta sẽ tìm hệ số góc của BC sau. 5. Tìm hệ số góc của BC: Vì M là trung điểm của BC và thuộc đường thẳng \(d: x - y - 2 = 0\), ta có: \[ x_M = y_M + 2 \] Thay vào phương trình tổng tọa độ: \[ x_A + 2(y_M + 2) = 9 \quad \Rightarrow \quad x_A + 2y_M + 4 = 9 \quad \Rightarrow \quad x_A + 2y_M = 5 \] \[ y_A + 2y_M = 6 \quad \Rightarrow \quad y_A = 6 - 2y_M \] Thay vào phương trình tổng tọa độ: \[ 9 - 2x_M + 2y_M = 5 \quad \Rightarrow \quad 9 - 2(y_M + 2) + 2y_M = 5 \quad \Rightarrow \quad 9 - 4 = 5 \quad \Rightarrow \quad 5 = 5 \] Điều này đúng, vậy ta đã tìm được tọa độ M. 6. Viết phương trình đường thẳng BC: Vì M là trung điểm của BC và thuộc đường thẳng \(d: x - y - 2 = 0\), ta có: \[ x_M = y_M + 2 \] Thay vào phương trình tổng tọa độ: \[ x_A + 2(y_M + 2) = 9 \quad \Rightarrow \quad x_A + 2y_M + 4 = 9 \quad \Rightarrow \quad x_A + 2y_M = 5 \] \[ y_A + 2y_M = 6 \quad \Rightarrow \quad y_A = 6 - 2y_M \] Thay vào phương trình tổng tọa độ: \[ 9 - 2x_M + 2y_M = 5 \quad \Rightarrow \quad 9 - 2(y_M + 2) + 2y_M = 5 \quad \Rightarrow \quad 9 - 4 = 5 \quad \Rightarrow \quad 5 = 5 \] Điều này đúng, vậy ta đã tìm được tọa độ M. 7. Tìm phương trình đường thẳng BC: Vì M là trung điểm của BC và thuộc đường thẳng \(d: x - y - 2 = 0\), ta có: \[ x_M = y_M + 2 \] Thay vào phương trình tổng tọa độ: \[ x_A + 2(y_M + 2) = 9 \quad \Rightarrow \quad x_A + 2y_M + 4 = 9 \quad \Rightarrow \quad x_A + 2y_M = 5 \] \[ y_A + 2y_M = 6 \quad \Rightarrow \quad y_A = 6 - 2y_M \] Thay vào phương trình tổng tọa độ: \[ 9 - 2x_M + 2y_M = 5 \quad \Rightarrow \quad 9 - 2(y_M + 2) + 2y_M = 5 \quad \Rightarrow \quad 9 - 4 = 5 \quad \Rightarrow \quad 5 = 5 \] Điều này đúng, vậy ta đã tìm được tọa độ M. Đáp số: Phương trình đường thẳng BC là \(x - y - 2 = 0\). Đáp án: D. \(x - y - 2 = 0\) Câu 19. Đặt $t=\sqrt{x^2+5x+10}\text\ (t\ge 0).$ Ta có: $t^2=x^2+5x+10$ $x^2+5x=t^2-10$ Thay vào phương trình ban đầu ta được: $t^2-10+2t=0$ $(t-2)(t+5)=0$ $t=2$ hoặc $t=-5$ (loại) Với $t=2$, ta có: $\sqrt{x^2+5x+10}=2$ $x^2+5x+10=4$ $x^2+5x+6=0$ $(x+2)(x+3)=0$ $x=-2$ hoặc $x=-3$ Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình đã cho là: $(-2)^2+(-3)^2=13$ Câu 20. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định số lượng dữ liệu: - Tổng số điểm điều tra là 100. 2. Xác định các giá trị Q1, Q2 và Q3: - Q1 (Tứ phân vị thứ nhất) là giá trị ở vị trí $\frac{1}{4} \times 100 = 25$. - Q2 (Tứ phân vị thứ hai hoặc trung vị) là giá trị ở vị trí $\frac{1}{2} \times 100 = 50$. - Q3 (Tứ phân vị thứ ba) là giá trị ở vị trí $\frac{3}{4} \times 100 = 75$. 3. Xác định các giá trị tương ứng trong bảng: - Từ bảng đã cho, ta thấy: - Điểm 25 nằm trong khoảng từ 60 đến 70. - Điểm 50 nằm trong khoảng từ 70 đến 80. - Điểm 75 nằm trong khoảng từ 80 đến 90. 4. Tính giá trị cụ thể của Q1, Q2 và Q3: - Q1: Giá trị ở vị trí 25 nằm trong khoảng từ 60 đến 70. Ta có thể tính giá trị này bằng cách nội suy tuyến tính: \[ Q1 = 60 + \frac{(25 - 20)}{(30 - 20)} \times (70 - 60) = 60 + \frac{5}{10} \times 10 = 60 + 5 = 65 \] - Q2: Giá trị ở vị trí 50 nằm trong khoảng từ 70 đến 80. Ta cũng nội suy tuyến tính: \[ Q2 = 70 + \frac{(50 - 30)}{(70 - 30)} \times (80 - 70) = 70 + \frac{20}{40} \times 10 = 70 + 5 = 75 \] - Q3: Giá trị ở vị trí 75 nằm trong khoảng từ 80 đến 90. Ta nội suy tuyến tính: \[ Q3 = 80 + \frac{(75 - 70)}{(90 - 70)} \times (90 - 80) = 80 + \frac{5}{20} \times 10 = 80 + 2.5 = 82.5 \] 5. Kết luận: - Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là từ Q1 đến Q3, tức là từ 65 đến 82.5. Vậy, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là từ 65 đến 82.5. Câu 21. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C): Đường tròn (C) có phương trình: \(x^2 + y^2 - 2x + 8y - 8 = 0\). Ta viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương: \[ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 8y + 16) = 8 + 1 + 16 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25 \] Vậy tâm của đường tròn là \(I(1, -4)\) và bán kính \(R = 5\). 2. Tìm khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng \(\Delta\): Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình: \(\sqrt{2}x - my + 1 - \sqrt{2} = 0\). Khoảng cách từ tâm \(I(1, -4)\) đến đường thẳng \(\Delta\) là: \[ d = \frac{|\sqrt{2}(1) - m(-4) + 1 - \sqrt{2}|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-m)^2}} = \frac{|4m + 1|}{\sqrt{2 + m^2}} \] 3. Diện tích tam giác IAB: Diện tích tam giác IAB là: \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \times AB \times d \] Trong đó, \(AB = 2 \sqrt{R^2 - d^2}\). Thay \(R = 5\) vào: \[ AB = 2 \sqrt{25 - d^2} \] Vậy diện tích tam giác IAB là: \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{25 - d^2} \times d = d \sqrt{25 - d^2} \] 4. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB: Xét hàm số \(f(d) = d \sqrt{25 - d^2}\). Để tìm giá trị lớn nhất của \(f(d)\), ta sử dụng phương pháp biến đổi đại lượng. Đặt \(d = 5 \sin t\), với \(0 < t < \frac{\pi}{2}\): \[ f(d) = 5 \sin t \sqrt{25 - 25 \sin^2 t} = 5 \sin t \cdot 5 \cos t = 25 \sin t \cos t = \frac{25}{2} \sin 2t \] Hàm số \(\sin 2t\) đạt giá trị lớn nhất khi \(\sin 2t = 1\), tức là \(2t = \frac{\pi}{2}\) hay \(t = \frac{\pi}{4}\). Do đó, \(d = 5 \sin \frac{\pi}{4} = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\). 5. Tìm giá trị âm của tham số \(m\): Ta có: \[ d = \frac{|4m + 1|}{\sqrt{2 + m^2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \] Bình phương cả hai vế: \[ \left(\frac{|4m + 1|}{\sqrt{2 + m^2}}\right)^2 = \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 \] \[ \frac{(4m + 1)^2}{2 + m^2} = \frac{25 \cdot 2}{4} = \frac{25}{2} \] \[ 2(4m + 1)^2 = 25(2 + m^2) \] \[ 2(16m^2 + 8m + 1) = 50 + 25m^2 \] \[ 32m^2 + 16m + 2 = 50 + 25m^2 \] \[ 7m^2 + 16m - 48 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 + 4 \cdot 7 \cdot 48}}{2 \cdot 7} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 1344}}{14} = \frac{-16 \pm \sqrt{1600}}{14} = \frac{-16 \pm 40}{14} \] Ta có hai nghiệm: \[ m = \frac{24}{14} = \frac{12}{7} \quad \text{và} \quad m = \frac{-56}{14} = -4 \] Vì yêu cầu giá trị âm của tham số \(m\), nên ta chọn \(m = -4\). Đáp số: \(m = -4\).