Giúp mình ạ

Câu 1: Doanh thu của công ty là: \[ R(x) = x \cdot T(x) = x(-200x + 560) = -200x^2 + 560x \] Để tìm doanh thu lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( R(x) = -200x^2 + 560x \). Hàm số \( R(x) \) là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -200 \), \( b = 560 \), và \( c = 0 \). Vì \( a < 0 \), đồ thị của hàm số này là một parabol mở xuống, do đó giá trị lớn nhất của hàm số sẽ đạt tại đỉnh của parabol. Đỉnh của parabol \( ax^2 + bx + c \) nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} \). Áp dụng công thức này, ta có: \[ x = -\frac{560}{2 \cdot (-200)} = \frac{560}{400} = 1.4 \] Vậy, công ty cần sản xuất và bán ra thị trường 1.4 nghìn sản phẩm để đạt doanh thu lớn nhất. Doanh thu lớn nhất là: \[ R(1.4) = -200(1.4)^2 + 560(1.4) = -200 \cdot 1.96 + 560 \cdot 1.4 = -392 + 784 = 392 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: 1.4 nghìn sản phẩm. Câu 2: Để tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CA}\), ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = AB \cdot CA \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] Trong đó: - \(AB = 5\) - \(CA = 6\) - \(\widehat{BAC} = 60^\circ\) Ta có \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\). Thay các giá trị vào công thức, ta được: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = 5 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 15 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CA}\) là 15. Câu 3: Để tính diện tích phần mảnh đất trồng rau của anh Hải, ta cần tính diện tích của tứ giác \(ABCD\). Bước 1: Kiểm tra điều kiện xác định Tứ giác \(ABCD\) có các cạnh \(AB = 15~m\), \(BC = 17~m\), \(CD = 12~m\), \(DA = 20~m\). Các cạnh này thỏa mãn điều kiện của một tứ giác. Bước 2: Sử dụng công thức Heron cho tứ giác Diện tích của tứ giác có thể được tính bằng công thức Brahmagupta (một dạng mở rộng của công thức Heron cho tứ giác nội tiếp), nhưng trước tiên ta cần kiểm tra xem tứ giác này có nội tiếp được hay không. Tứ giác nội tiếp khi tổng hai góc đối diện bằng \(180^\circ\). Tuy nhiên, không có thông tin về góc, nên ta sẽ sử dụng công thức Heron cho tam giác để tính diện tích của hai tam giác \( \triangle ABC \) và \( \triangle ACD \). Bước 3: Tính diện tích tam giác \( \triangle ABC \) - Nửa chu vi \( p_1 \) của tam giác \( \triangle ABC \) là: \[ p_1 = \frac{AB + BC + AC}{2} \] Giả sử \( AC = x \), ta có: \[ p_1 = \frac{15 + 17 + x}{2} = \frac{32 + x}{2} \] - Diện tích \( S_1 \) của tam giác \( \triangle ABC \) là: \[ S_1 = \sqrt{p_1(p_1 - AB)(p_1 - BC)(p_1 - AC)} \] \[ S_1 = \sqrt{\frac{32 + x}{2} \left(\frac{32 + x}{2} - 15\right) \left(\frac{32 + x}{2} - 17\right) \left(\frac{32 + x}{2} - x\right)} \] Bước 4: Tính diện tích tam giác \( \triangle ACD \) - Nửa chu vi \( p_2 \) của tam giác \( \triangle ACD \) là: \[ p_2 = \frac{AC + CD + DA}{2} \] \[ p_2 = \frac{x + 12 + 20}{2} = \frac{x + 32}{2} \] - Diện tích \( S_2 \) của tam giác \( \triangle ACD \) là: \[ S_2 = \sqrt{p_2(p_2 - AC)(p_2 - CD)(p_2 - DA)} \] \[ S_2 = \sqrt{\frac{x + 32}{2} \left(\frac{x + 32}{2} - x\right) \left(\frac{x + 32}{2} - 12\right) \left(\frac{x + 32}{2} - 20\right)} \] Bước 5: Tổng diện tích tứ giác \( ABCD \) Diện tích của tứ giác \( ABCD \) là tổng diện tích của hai tam giác: \[ S = S_1 + S_2 \] Kết luận Để tính chính xác diện tích, cần biết độ dài đường chéo \( AC \). Nếu không có thông tin này, ta không thể tính chính xác diện tích tứ giác \( ABCD \). Nếu có thêm thông tin, vui lòng cung cấp để hoàn thiện bài toán. Câu 4: Để tính giá trị của biểu thức \( T = f(-2) + f(3) \), chúng ta cần xác định giá trị của \( f(-2) \) và \( f(3) \) dựa trên định nghĩa của hàm số \( y = f(x) \). Hàm số \( y = f(x) \) được định nghĩa như sau: \[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{nếu } x \geq 0 \\ 5 & \text{nếu } x < 0 \end{cases} \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng giá trị riêng lẻ: 1. Tính \( f(-2) \): Vì \( -2 < 0 \), nên theo định nghĩa của hàm số, ta có: \[ f(-2) = 5 \] 2. Tính \( f(3) \): Vì \( 3 \geq 0 \), nên theo định nghĩa của hàm số, ta có: \[ f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \] Cuối cùng, ta cộng hai giá trị này lại để tìm giá trị của \( T \): \[ T = f(-2) + f(3) = 5 + 8 = 13 \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là: \[ T = 13 \] Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng xe du lịch và xe tải tối ưu để chủ bãi xe có thể có doanh thu cao nhất. Gọi: - \( x \) là số lượng xe du lịch. - \( y \) là số lượng xe tải. Điều kiện ràng buộc: 1. Tổng diện tích đậu xe không vượt quá 450 m²: \[ 3x + 5y \leq 450 \] 2. Tổng số xe không vượt quá 120 xe: \[ x + y \leq 120 \] Doanh thu từ mỗi loại xe: - Mỗi xe du lịch mang lại doanh thu 40 nghìn đồng. - Mỗi xe tải mang lại doanh thu 50 nghìn đồng. Hàm mục tiêu cần tối đa hóa: \[ D = 40x + 50y \] Bây giờ, chúng ta sẽ vẽ miền khả thi dựa trên các ràng buộc đã cho và tìm điểm tối ưu trong miền đó. 1. Vẽ đường thẳng \( 3x + 5y = 450 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = 90 \) - Khi \( y = 0 \), \( x = 150 \) 2. Vẽ đường thẳng \( x + y = 120 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = 120 \) - Khi \( y = 0 \), \( x = 120 \) Miền khả thi là phần nằm dưới cả hai đường thẳng này và ở phía trên trục \( xy \). Tiếp theo, chúng ta kiểm tra các đỉnh của miền khả thi để tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu \( D = 40x + 50y \): - Đỉnh A: Giao điểm của \( 3x + 5y = 450 \) và \( x + y = 120 \) \[ \begin{cases} 3x + 5y = 450 \\ x + y = 120 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: \[ x + y = 120 \implies y = 120 - x \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 3x + 5(120 - x) = 450 \\ 3x + 600 - 5x = 450 \\ -2x = -150 \\ x = 75 \] \[ y = 120 - 75 = 45 \] Vậy, đỉnh A là \( (75, 45) \). Tính doanh thu tại đỉnh A: \[ D = 40 \times 75 + 50 \times 45 = 3000 + 2250 = 5250 \text{ nghìn đồng} \] Kiểm tra các đỉnh khác: - Đỉnh B: \( (0, 90) \) \[ D = 40 \times 0 + 50 \times 90 = 4500 \text{ nghìn đồng} \] - Đỉnh C: \( (120, 0) \) \[ D = 40 \times 120 + 50 \times 0 = 4800 \text{ nghìn đồng} \] So sánh các giá trị doanh thu: - Tại đỉnh A: 5250 nghìn đồng - Tại đỉnh B: 4500 nghìn đồng - Tại đỉnh C: 4800 nghìn đồng Giá trị lớn nhất của doanh thu là 5250 nghìn đồng, đạt được khi có 75 xe du lịch và 45 xe tải. Vậy, chủ bãi xe có thể có doanh thu cao nhất là 5250 nghìn đồng. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vectơ \( |2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| \). Trước tiên, ta cần xác định độ dài của cạnh \( AB \) trong tam giác vuông \( ABC \). Bước 1: Tìm độ dài \( AB \) sử dụng định lý Pythagore Vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ (2\sqrt{13})^2 = AB^2 + 6^2 \] Tính toán: \[ 4 \times 13 = AB^2 + 36 \] \[ 52 = AB^2 + 36 \] \[ AB^2 = 52 - 36 = 16 \] \[ AB = \sqrt{16} = 4 \] Bước 2: Tính \( |2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| \) Giả sử \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{v} \). Khi đó, \( 2\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{u} \). Ta cần tính: \[ |2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| \] Sử dụng công thức tính độ dài của vectơ: \[ |2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{(2u_x + v_x)^2 + (2u_y + v_y)^2} \] Vì tam giác vuông tại \( A \), ta có thể chọn hệ trục tọa độ sao cho \( A(0, 0) \), \( B(4, 0) \), và \( C(0, 6) \). Khi đó: - \( \overrightarrow{AB} = (4, 0) \) - \( \overrightarrow{AC} = (0, 6) \) Tính \( 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \): \[ 2\overrightarrow{AB} = 2 \times (4, 0) = (8, 0) \] \[ 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (8, 0) + (0, 6) = (8, 6) \] Tính độ dài: \[ |2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] Vậy, \( |2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 10 \).