Giúp mình với!

Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng phần một cách chi tiết. a) Kiểm tra ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không: Ba điểm A, B, C thẳng hàng nếu và chỉ nếu vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương. Ta tính: - Vectơ $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-4 + 2, -2 - 5) = (-2, -7)$. - Vectơ $\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (1 + 2, 5 - 5) = (3, 0)$. Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương vì không tồn tại số $k$ sao cho $(-2, -7) = k(3, 0)$. Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Kiểm tra tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) \] Thay tọa độ các điểm vào, ta có: \[ G\left(\frac{-2 - 4 + 1}{3}, \frac{5 - 2 + 5}{3}\right) = G\left(\frac{-5}{3}, \frac{8}{3}\right) \] Vậy tọa độ trọng tâm G là $G\left(-\frac{5}{3}, \frac{8}{3}\right)$, khớp với đề bài. c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành: Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA}$. Ta đã có $\overrightarrow{AB} = (-2, -7)$. Để $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$, ta cần: \[ (x_D - x_C, y_D - y_C) = (-2, -7) \] Thay tọa độ điểm C vào, ta có: \[ (x_D - 1, y_D - 5) = (-2, -7) \] Giải hệ phương trình: \[ x_D - 1 = -2 \Rightarrow x_D = -1 \] \[ y_D - 5 = -7 \Rightarrow y_D = -2 \] Vậy tọa độ điểm D là $D(-1, -2)$. d) Kiểm tra góc $\angle ACB = 45^\circ$: Để tính góc $\angle ACB$, ta sử dụng tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$: - Vectơ $\overrightarrow{CA} = (-3, 0)$. - Vectơ $\overrightarrow{CB} = (-5, -7)$. Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-3)(-5) + (0)(-7) = 15 \] Độ dài của các vectơ: \[ |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3 \] \[ |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \] Cosine của góc $\angle ACB$: \[ \cos \angle ACB = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|} = \frac{15}{3\sqrt{74}} = \frac{5}{\sqrt{74}} \] Vì $\cos \angle ACB \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên góc $\angle ACB$ không phải là $45^\circ$. Tóm lại, các kết luận là: a) Đúng, ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Đúng, tọa độ trọng tâm G là $G\left(-\frac{5}{3}, \frac{8}{3}\right)$. c) Sai, tọa độ điểm D phải là $D(-1, -2)$ để tứ giác ABCD là hình bình hành. d) Sai, góc $\angle ACB$ không phải là $45^\circ$. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các phép toán với các vectơ đã cho. Dưới đây là từng bước lập luận: 1. Xác định tọa độ của các vectơ: - Vectơ \(\overrightarrow{a} = -\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j}\) có tọa độ là \((-1, 3)\). Do đó, khẳng định \(a)~\overrightarrow{a}=(-1;3)\) là đúng. - Vectơ \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}\) có tọa độ là \((1, 2)\). Do đó, khẳng định \(b)~\overrightarrow{b}=(1;2)\) là đúng. 2. Tính tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\): - Tọa độ của \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) được tính bằng cách cộng từng thành phần tương ứng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\): \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (-1 + 1, 3 + 2) = (0, 5) \] - Do đó, khẳng định \(c)~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1;5)\) là sai. Kết quả đúng phải là \((0, 5)\). 3. Tính hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\): - Tọa độ của \(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) được tính bằng cách trừ từng thành phần tương ứng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\): \[ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (-1 - 1, 3 - 2) = (-2, 1) \] - Do đó, khẳng định \(d)~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2;1)\) là sai. Kết quả đúng phải là \((-2, 1)\). Tóm lại, các khẳng định đúng là \(a)\) và \(b)\). Câu 4: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính $\overrightarrow a(\overrightarrow a-\overrightarrow b)=12$ Trước tiên, ta cần tính $\overrightarrow a - \overrightarrow b$: \[ \overrightarrow a - \overrightarrow b = (-2; 3) - (4; 1) = (-2 - 4; 3 - 1) = (-6; 2) \] Tiếp theo, tính tích vô hướng $\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow a - \overrightarrow b)$: \[ \overrightarrow a \cdot (\overrightarrow a - \overrightarrow b) = (-2; 3) \cdot (-6; 2) = (-2)(-6) + (3)(2) = 12 + 6 = 18 \] Vậy, $\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow a - \overrightarrow b) = 18$, không phải 12. Có thể có lỗi trong đề bài. b) Tính $(\overrightarrow a+\overrightarrow b)(2\overrightarrow a-\overrightarrow b)=4$ Trước tiên, ta cần tính $\overrightarrow a + \overrightarrow b$ và $2\overrightarrow a - \overrightarrow b$: \[ \overrightarrow a + \overrightarrow b = (-2; 3) + (4; 1) = (-2 + 4; 3 + 1) = (2; 4) \] \[ 2\overrightarrow a - \overrightarrow b = 2(-2; 3) - (4; 1) = (-4; 6) - (4; 1) = (-4 - 4; 6 - 1) = (-8; 5) \] Tiếp theo, tính tích vô hướng $(\overrightarrow a + \overrightarrow b) \cdot (2\overrightarrow a - \overrightarrow b)$: \[ (2; 4) \cdot (-8; 5) = 2(-8) + 4(5) = -16 + 20 = 4 \] Vậy, $(\overrightarrow a + \overrightarrow b) \cdot (2\overrightarrow a - \overrightarrow b) = 4$, đúng với đề bài. c) Vectơ $\overrightarrow c=\overrightarrow{mi}+\overrightarrow j$ vuông góc với $\overrightarrow d$ khi $m=\frac32$ Vectơ $\overrightarrow c = (m; 1)$ và $\overrightarrow d = (-2; 3)$. Để $\overrightarrow c$ vuông góc với $\overrightarrow d$, ta có: \[ (m; 1) \cdot (-2; 3) = m(-2) + 1(3) = -2m + 3 = 0 \] Giải phương trình: \[ -2m + 3 = 0 \implies -2m = -3 \implies m = \frac{3}{2} \] Vậy, $m = \frac{3}{2}$. d) Tọa độ vectơ $\overrightarrow d$ sao cho $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow d = 4$ và $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow d = -2$ Giả sử $\overrightarrow d = (x; y)$. Ta có hai phương trình: 1. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow d = (-2; 3) \cdot (x; y) = -2x + 3y = 4$ 2. $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow d = (4; 1) \cdot (x; y) = 4x + y = -2$ Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} -2x + 3y = 4 \\ 4x + y = -2 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ y = -2 - 4x \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ -2x + 3(-2 - 4x) = 4 \\ -2x - 6 - 12x = 4 \\ -14x = 10 \\ x = -\frac{5}{7} \] Thay $x = -\frac{5}{7}$ vào $y = -2 - 4x$: \[ y = -2 - 4\left(-\frac{5}{7}\right) = -2 + \frac{20}{7} = -\frac{14}{7} + \frac{20}{7} = \frac{6}{7} \] Vậy, tọa độ của $\overrightarrow d$ là $\left(-\frac{5}{7}; \frac{6}{7}\right)$. Câu 5: Để giải quyết các yêu cầu của bài toán thống kê, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần Dữ liệu ban đầu: 72, 89, 88, 73, 63, 265, 69, 65 94, 80, 81, 98, 66, 71, 84, 73 93, 59, 60, 61, 83, 72, 85, 66 Sắp xếp lại: 59, 60, 61, 63, 65, 66, 66, 69 71, 72, 72, 73, 73, 80, 81, 83 84, 85, 88, 89, 93, 94, 98, 265 Bước 2: Tính số trung bình (mean) Số trung bình được tính bằng tổng tất cả các giá trị chia cho số lượng giá trị. Tổng các giá trị: \[ 59 + 60 + 61 + 63 + 65 + 66 + 66 + 69 + 71 + 72 + 72 + 73 + 73 + 80 + 81 + 83 + 84 + 85 + 88 + 89 + 93 + 94 + 98 + 265 = 2010 \] Số lượng giá trị: 24 Số trung bình: \[ \text{Trung bình} = \frac{2010}{24} = 83,75 \] Bước 3: Tìm số trung vị (median) Số trung vị là giá trị ở giữa khi các số đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Với 24 giá trị (số chẵn), trung vị là trung bình của hai số ở giữa (thứ 12 và thứ 13). Các số ở giữa: \[ 73 \text{ và } 80 \] Số trung vị: \[ \text{Trung vị} = \frac{73 + 80}{2} = 76,5 \] Bước 4: Tính sai khác giữa số trung bình và số trung vị Sai khác giữa số trung bình và số trung vị: \[ 83,75 - 76,5 = 7,25 \] Bước 5: Tìm khoảng cách từ \( Q_1 \) đến \( Q_2 \) \( Q_1 \) (quartile 1) là trung vị của nửa dưới của dữ liệu (12 giá trị đầu tiên): \[ 59, 60, 61, 63, 65, 66, 66, 69, 71, 72, 72, 73 \] Trung vị của nửa dưới: \[ \text{Trung vị của nửa dưới} = \frac{66 + 69}{2} = 67,5 \] \( Q_2 \) (quartile 2) là trung vị của toàn bộ dữ liệu, đã tính ở bước 3: \[ Q_2 = 76,5 \] Khoảng cách từ \( Q_1 \) đến \( Q_2 \): \[ 76,5 - 67,5 = 9 \] Kết luận a) Mỗi tháng cửa hàng bán trung bình 83,75 bao. b) Số trung vị là: 76,5. c) Sai khác giữa số trung bình và số trung vị là 7,25. d) Khoảng cách từ \( Q_1 \) đến \( Q_2 \) là 9. Câu 6: a) Để tính sản lượng chè trung bình thu được trong một năm của mỗi gia đình, ta cộng tất cả các giá trị trong mẫu số liệu rồi chia cho tổng số hộ gia đình. Sản lượng chè trung bình = (112 + 111 + 112 + 113 + 114 + 116 + 115 + 114 + 115 + 114) : 10 = 1136 : 10 = 113,6 (kg/sào) b) Viết lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 111, 112, 112, 113, 114, 114, 114, 115, 115, 116 c) Số trung vị là số ở giữa khi sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm. Vì có 10 số (số chẵn), nên số trung vị là trung bình của hai số ở giữa. Số trung vị = (114 + 114) : 2 = 228 : 2 = 114 d) Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu số liệu. Trong mẫu số liệu này, số 114 xuất hiện nhiều lần nhất (3 lần). Vậy mốt của mẫu số liệu là 114.