A = 2024 - 1/2^2 - 1/3^2 - 1/4^2 - ... -1/2024^2 Chứng minh a không phải là số tự nhiên

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $ A = 2024 - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} - \ldots - \frac{1}{2024^2} $ không phải là số tự nhiên, chúng ta sẽ phân tích từng phần của biểu thức này.

1. Xác định các phân số trong biểu thức:
   Biểu thức $ A $ bao gồm các phân số $ \frac{1}{n^2} $ với $ n $ từ 2 đến 2024.

2. Tính tổng các phân số:
   Ta cần chứng minh rằng tổng các phân số $ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2024^2} $ là một số thập phân.

3. Phân tích từng phân số:
   Mỗi phân số $ \frac{1}{n^2} $ với $ n > 1 $ đều là một số thập phân nhỏ hơn 1. Cụ thể:
   - $ \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25 $
   - $ \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 0.1111 $
   - $ \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0.0625 $
   - Các phân số tiếp theo sẽ càng nhỏ hơn nữa.

4. Tổng các phân số:
   Tổng của các phân số này sẽ là một số thập phân nhỏ hơn 1. Chúng ta có thể thấy rằng:
   $$
   \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2024^2} < 1
   $$

5. Tính giá trị của $ A $:
   Vì tổng các phân số $ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2024^2} $ là một số thập phân nhỏ hơn 1, khi trừ đi từ 2024, kết quả sẽ là một số thập phân.

6. Kết luận:
   Do đó, $ A = 2024 - \left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2024^2} \right) $ không phải là số tự nhiên vì nó là một số thập phân.

Vậy, $ A $ không phải là số tự nhiên.