Giúp toi với

Câu 12. Trước tiên, ta cần xác định diện tích thiết diện của trống. Thiết diện này là một hình chữ nhật có diện tích là $1600\pi \text{ cm}^2$. Chiều dài của trống là 1 m = 100 cm. Diện tích thiết diện là: \[ A = 1600\pi \text{ cm}^2 \] Chiều cao của thiết diện là: \[ h = \frac{A}{l} = \frac{1600\pi}{100} = 16\pi \text{ cm} \] Bán kính đáy của trống là 30 cm. Ta có thể coi thiết diện này là một hình chữ nhật có chiều rộng là 60 cm (vì đường kính của đáy là 60 cm) và chiều cao là 16π cm. Thể tích của trống có thể được tính bằng cách nhân diện tích đáy với chiều cao của trống: \[ V = \pi r^2 h = \pi (30)^2 \times 100 = 90000\pi \text{ cm}^3 \] Tuy nhiên, do thiết diện là một hình chữ nhật với chiều cao là 16π cm, ta cần điều chỉnh lại thể tích theo diện tích thiết diện đã cho: \[ V = \frac{1}{2} \times 1600\pi \times 100 = 80000\pi \text{ cm}^3 \] Vậy thể tích của cái trống là: \[ V = 80000\pi \text{ cm}^3 \] Đáp số: \( 80000\pi \text{ cm}^3 \) Câu 13. Để tính diện tích S của hình phẳng được tô đậm, chúng ta cần sử dụng các thông tin về các tích phân đã cho. Diện tích S của hình phẳng được tô đậm có thể được tính bằng cách lấy tích phân từ -2 đến 1 trừ đi tích phân từ 0 đến 2. Ta có: \[ S = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(x) \, dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int_{-2}^{1} f(x) \, dx = a \] \[ \int_{0}^{2} f(x) \, dx = b \] Do đó, diện tích S sẽ là: \[ S = a - b \] Vậy đáp án đúng là: D. \( S = a - b \). Câu 14. Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = x^2 - x - 3 \), \( y = 2x - 1 \), \( x = -2 \), và \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm giao của các đường thẳng và parabol: - Giao điểm của \( y = x^2 - x - 3 \) và \( y = 2x - 1 \): \[ x^2 - x - 3 = 2x - 1 \] \[ x^2 - 3x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \] Các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \] 2. Xác định khoảng tích phân: - Ta thấy rằng các giao điểm này nằm ngoài khoảng \([-2, 2]\). Do đó, ta sẽ tính diện tích giữa các đường \( y = x^2 - x - 3 \) và \( y = 2x - 1 \) trong khoảng từ \( x = -2 \) đến \( x = 2 \). 3. Tính diện tích bằng cách tích phân: - Diện tích \( A \) được tính bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hai hàm số từ \( x = -2 \) đến \( x = 2 \): \[ A = \int_{-2}^{2} [(2x - 1) - (x^2 - x - 3)] \, dx \] \[ A = \int_{-2}^{2} (2x - 1 - x^2 + x + 3) \, dx \] \[ A = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 3x + 2) \, dx \] 4. Tính tích phân: - Tính từng phần: \[ \int_{-2}^{2} -x^2 \, dx = -\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = -\left( \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = -\left( \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \right) = -\frac{16}{3} \] \[ \int_{-2}^{2} 3x \, dx = 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{2} = 3 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} \right) = 3 \left( 2 - 2 \right) = 0 \] \[ \int_{-2}^{2} 2 \, dx = 2 \left[ x \right]_{-2}^{2} = 2 (2 - (-2)) = 2 \times 4 = 8 \] - Tổng lại: \[ A = -\frac{16}{3} + 0 + 8 = -\frac{16}{3} + \frac{24}{3} = \frac{8}{3} \] 5. Làm tròn kết quả: - Diện tích \( A \approx 2.67 \) (làm tròn đến hai chữ số thập phân). Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = x^2 - x - 3 \), \( y = 2x - 1 \), \( x = -2 \), và \( x = 2 \) là \( \boxed{2.67} \). Câu 15. Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = x^2 - x - 3 \) và \( y = 2x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường cong Ta giải phương trình: \[ x^2 - x - 3 = 2x + 1 \] \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm để giải: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 4 \quad \text{và} \quad x_2 = -1 \] Bước 2: Xác định khoảng tích phân Hai giao điểm là \( x = -1 \) và \( x = 4 \). Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường này từ \( x = -1 \) đến \( x = 4 \). Bước 3: Tính diện tích Diện tích \( A \) giữa hai đường cong từ \( x = -1 \) đến \( x = 4 \) được tính bằng tích phân: \[ A = \int_{-1}^{4} [(2x + 1) - (x^2 - x - 3)] \, dx \] \[ A = \int_{-1}^{4} (2x + 1 - x^2 + x + 3) \, dx \] \[ A = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) \, dx \] Ta tính tích phân từng phần: \[ \int (-x^2 + 3x + 4) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \] Áp dụng cận trên và cận dưới: \[ A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{4} \] \[ A = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 4 \cdot (-1) \right) \] \[ A = \left( -\frac{64}{3} + \frac{48}{2} + 16 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) \] \[ A = \left( -\frac{64}{3} + 24 + 16 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) \] \[ A = \left( -\frac{64}{3} + 40 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) \] \[ A = \left( -\frac{64}{3} + \frac{120}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) \] \[ A = \left( \frac{56}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 16. Trước tiên, chúng ta cần xác định phương trình của hai đường parabol. Vì hai đường parabol đối xứng nhau qua đường kính AB và đi qua các điểm A và B, ta có thể giả sử rằng đường tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) và đường kính AB nằm trên trục Ox. Do đó, điểm A có tọa độ (-6,0) và điểm B có tọa độ (6,0). Hai đường parabol đối xứng nhau qua trục Ox và đỉnh của mỗi parabol cách mép hình tròn 2m. Điều này có nghĩa là đỉnh của mỗi parabol nằm trên trục Oy và cách tâm của đường tròn 2m. Vì vậy, đỉnh của mỗi parabol có tọa độ (0,2) hoặc (0,-2). Ta sẽ xem xét đường parabol đi qua điểm A(-6,0) và đỉnh (0,2). Phương trình của đường parabol có dạng: \[ y = a(x - h)^2 + k \] Trong đó, (h,k) là đỉnh của parabol. Thay (h,k) = (0,2) vào phương trình, ta có: \[ y = ax^2 + 2 \] Vì đường parabol đi qua điểm A(-6,0), thay tọa độ của điểm A vào phương trình: \[ 0 = a(-6)^2 + 2 \] \[ 0 = 36a + 2 \] \[ 36a = -2 \] \[ a = -\frac{1}{18} \] Do đó, phương trình của đường parabol là: \[ y = -\frac{1}{18}x^2 + 2 \] Đường parabol đối xứng với nó qua trục Ox sẽ có phương trình: \[ y = \frac{1}{18}x^2 - 2 \] Bây giờ, chúng ta cần tính diện tích phần giới hạn bởi hai đường parabol. Diện tích này là diện tích giữa hai đường parabol từ x = -6 đến x = 6. Ta tính diện tích này bằng cách tính tích phân của hiệu giữa hai hàm số từ x = -6 đến x = 6. Diện tích S là: \[ S = \int_{-6}^{6} \left( -\frac{1}{18}x^2 + 2 - \left( \frac{1}{18}x^2 - 2 \right) \right) dx \] \[ S = \int_{-6}^{6} \left( -\frac{1}{18}x^2 + 2 - \frac{1}{18}x^2 + 2 \right) dx \] \[ S = \int_{-6}^{6} \left( -\frac{1}{9}x^2 + 4 \right) dx \] Tính tích phân: \[ S = \left[ -\frac{1}{27}x^3 + 4x \right]_{-6}^{6} \] \[ S = \left( -\frac{1}{27}(6)^3 + 4(6) \right) - \left( -\frac{1}{27}(-6)^3 + 4(-6) \right) \] \[ S = \left( -\frac{1}{27}(216) + 24 \right) - \left( -\frac{1}{27}(216) - 24 \right) \] \[ S = \left( -8 + 24 \right) - \left( -8 - 24 \right) \] \[ S = 16 - (-32) \] \[ S = 16 + 32 \] \[ S = 48 \text{ m}^2 \] Diện tích của hình tròn là: \[ A_{\text{hình tròn}} = \pi r^2 = \pi (6)^2 = 36\pi \text{ m}^2 \] Diện tích phần còn lại (phần lát gốm sứ) là: \[ A_{\text{lát gốm sứ}} = 36\pi - 48 \text{ m}^2 \] Chi phí để trồng hoa là: \[ \text{Chi phí hoa} = 48 \times 100 = 4800 \text{ nghìn đồng} \] Chi phí để lát gốm sứ là: \[ \text{Chi phí gốm sứ} = (36\pi - 48) \times 600 \text{ nghìn đồng} \] Tổng chi phí là: \[ \text{Tổng chi phí} = 4800 + (36\pi - 48) \times 600 \] \[ \text{Tổng chi phí} = 4800 + 21600\pi - 28800 \] \[ \text{Tổng chi phí} = 21600\pi - 24000 \text{ nghìn đồng} \] Đáp số: Tổng chi phí để hoàn thành khu vực này là \( 21600\pi - 24000 \) nghìn đồng. Câu 17. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định vị trí của máy bay khi nó nằm trong phạm vi hiển thị trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu. Bước 1: Xác định điều kiện để máy bay nằm trong phạm vi hiển thị trên màn hình ra đa. - Máy bay nằm trong phạm vi hiển thị nếu khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không vượt quá $\sqrt{105}$ km. Bước 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d. - Đường thẳng d đi qua điểm A(-12, -5, 2) và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1, 3, 0)$. - Phương trình tham số của đường thẳng d: \[ \begin{cases} x = -12 + t \\ y = -5 + 3t \\ z = 2 \end{cases} \] Bước 3: Xác định khoảng cách từ điểm M(x, y, z) trên đường thẳng d đến đài kiểm soát O(0, 0, 0). - Khoảng cách từ điểm M(x, y, z) đến O(0, 0, 0) là: \[ OM = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] - Thay phương trình tham số vào: \[ OM = \sqrt{(-12 + t)^2 + (-5 + 3t)^2 + 2^2} \] Bước 4: Đặt điều kiện để máy bay nằm trong phạm vi hiển thị. - Điều kiện là: \[ OM \leq \sqrt{105} \] - Thay vào: \[ \sqrt{(-12 + t)^2 + (-5 + 3t)^2 + 2^2} \leq \sqrt{105} \] - Bình phương cả hai vế: \[ (-12 + t)^2 + (-5 + 3t)^2 + 2^2 \leq 105 \] - Mở rộng và đơn giản hóa: \[ (144 - 24t + t^2) + (25 - 30t + 9t^2) + 4 \leq 105 \] \[ 144 - 24t + t^2 + 25 - 30t + 9t^2 + 4 \leq 105 \] \[ 10t^2 - 54t + 173 \leq 105 \] \[ 10t^2 - 54t + 68 \leq 0 \] Bước 5: Giải bất phương trình bậc hai. - Ta giải phương trình bậc hai: \[ 10t^2 - 54t + 68 = 0 \] - Tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-54)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 68 = 2916 - 2720 = 196 \] - Tìm nghiệm: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{54 \pm 14}{20} \] \[ t_1 = \frac{68}{20} = 3.4 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{40}{20} = 2 \] - Bất phương trình: \[ 10(t - 2)(t - 3.4) \leq 0 \] - Kết luận: \[ 2 \leq t \leq 3.4 \] Bước 6: Kết luận vị trí của máy bay. - Máy bay nằm trong phạm vi hiển thị trên màn hình ra đa khi $2 \leq t \leq 3.4$. Đáp số: $2 \leq t \leq 3.4$.