Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 6cm, NP = 7cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác MNP. Chứng minh rằng: IG//MP

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng IG // MP, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác và các đường phân giác, trọng tâm.

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
   - Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác MNP.
   - Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP.
   - Gọi D là trung điểm của cạnh NP.

2. Tính chất của trọng tâm:
   - Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tức là G nằm trên đường trung tuyến MD và chia MD thành đoạn MG và GD sao cho MG = 2GD.

3. Tính chất của đường phân giác:
   - Đường phân giác của một góc tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.

4. Xét tam giác MNP:
   - Vì I là giao điểm của ba đường phân giác, nên I cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác MNP.
   - Đường phân giác MI chia cạnh NP thành hai đoạn NI và IP tỉ lệ với MN và MP, tức là $\frac{NI}{IP} = \frac{MN}{MP} = \frac{5}{6}$.

5. Xét tam giác MND:
   - Vì D là trung điểm của NP, nên ND = DP = $\frac{NP}{2} = \frac{7}{2}$ cm.
   - Đường phân giác MI cắt ND tại điểm J, và theo tính chất đường phân giác, ta có $\frac{NJ}{JD} = \frac{MN}{MD}$.

6. Tính chất của đường trung tuyến:
   - Trong tam giác MNP, đường trung tuyến MD chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

7. Chứng minh IG // MP:
   - Vì G là trọng tâm và chia đường trung tuyến MD thành tỉ số 2:1, nên G nằm trên đường thẳng nối giữa I và D.
   - Do đó, IG là đường thẳng nối giữa tâm đường tròn nội tiếp I và trọng tâm G của tam giác MNP.
   - Vì G nằm trên đường thẳng nối giữa I và D, và D là trung điểm của NP, nên IG song song với MP.

Kết luận: IG // MP.