Giải giúp ạ

Câu 4. Để tính diện tích của cửa, chúng ta cần tính diện tích của hình vuông và diện tích của phần parabol phía trên. 1. Diện tích hình vuông: Diện tích hình vuông là: \[ S_{vuông} = a^2 = 2.5^2 = 6.25 \text{ m}^2 \] 2. Diện tích phần parabol: Ta biết rằng diện tích phần parabol có thể được tính bằng cách lấy diện tích của hình chữ nhật bao quanh trừ đi diện tích của hai tam giác ở hai bên. - Diện tích hình chữ nhật bao quanh: \[ S_{chữ-nhật} = a \times b = 2.5 \times 0.5 = 1.25 \text{ m}^2 \] - Diện tích mỗi tam giác (vì tam giác này nằm trong hình chữ nhật và có chiều cao là b): \[ S_{tam-giac} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 0.5 = 0.625 \text{ m}^2 \] Vì có hai tam giác nên tổng diện tích của hai tam giác là: \[ S_{2-tam-giac} = 2 \times 0.625 = 1.25 \text{ m}^2 \] - Diện tích phần parabol: \[ S_{parabol} = S_{chữ-nhật} - S_{2-tam-giac} = 1.25 - 1.25 = 0 \text{ m}^2 \] Tuy nhiên, do tính chất của parabol, diện tích phần parabol thực tế sẽ là một nửa diện tích hình chữ nhật bao quanh: \[ S_{parabol} = \frac{1}{2} \times S_{chữ-nhật} = \frac{1}{2} \times 1.25 = 0.625 \text{ m}^2 \] 3. Tổng diện tích cửa: Tổng diện tích cửa là tổng diện tích hình vuông và diện tích phần parabol: \[ S_{tổng} = S_{vuông} + S_{parabol} = 6.25 + 0.625 = 6.875 \text{ m}^2 \] 4. Số tiền để làm cửa: Số tiền để làm cửa là: \[ Tiền = S_{tổng} \times 1 = 6.875 \text{ triệu đồng} \] Vậy số tiền để làm cửa là 6.875 triệu đồng. Làm tròn đến một số thập phân sau dấu phẩy, ta có: \[ Tiền = 6.9 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: 6.9 triệu đồng. Câu 1 Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + x^2 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng của các hạng tử trong hàm số: \[ f(x) = x^2 + x^2 = 2x^2 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của \( 2x^2 \): \[ \int 2x^2 \, dx = 2 \int x^2 \, dx \] Bước 3: Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) với \( n = 2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \] Bước 4: Nhân kết quả với 2: \[ 2 \int x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2x^3}{3} \] Bước 5: Viết thêm hằng số nguyên hàm \( C \): \[ \int 2x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 + x^2 \) là: \[ \frac{2x^3}{3} + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $\frac{2x^3}{3} + C$ Đáp án: A. $\frac{2x^3}{3} + C$ Câu 2 Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 7 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số \( f(x) = 7 \) là một hằng số. Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của hằng số. Nguyên hàm của một hằng số \( a \) là \( ax + C \), trong đó \( C \) là hằng số tùy ý. Áp dụng vào bài toán: \[ \int 7 \, dx = 7x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{7x + C} \] Trong các lựa chọn đã cho, không có lựa chọn nào đúng theo yêu cầu của đề bài. Tuy nhiên, nếu phải chọn từ các lựa chọn đã cho, thì không có lựa chọn nào đúng. Câu 3 Để tính tích phân $\int \frac{1}{x \sqrt{x}} \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt $u = \sqrt{x}$, suy ra $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx$. Do đó, $dx = 2\sqrt{x} \, du = 2u \, du$. Bước 2: Thay vào tích phân: \[ \int \frac{1}{x \sqrt{x}} \, dx = \int \frac{1}{u^2 \cdot u} \cdot 2u \, du = \int \frac{2}{u^2} \, du = 2 \int u^{-2} \, du. \] Bước 3: Tính tích phân: \[ 2 \int u^{-2} \, du = 2 \left( \frac{u^{-1}}{-1} \right) + C = -\frac{2}{u} + C. \] Bước 4: Quay lại biến ban đầu: \[ -\frac{2}{u} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C. \] Vậy tích phân $\int \frac{1}{x \sqrt{x}} \, dx$ có giá trị là $-\frac{2}{\sqrt{x}} + C$. Do đó, đáp án đúng là: D. $-\frac{\sqrt{2} + 8}{20}$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Vì vậy, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong việc cung cấp các lựa chọn. Câu 4 Để tính quảng đường \( x \) mà vật di chuyển được trong 6 giờ, ta cần tính diện tích dưới đồ thị vận tốc theo thời gian. Đồ thị này bao gồm hai phần: một phần là một đoạn parabol và một phần là một đoạn đường thẳng. Bước 1: Xác định phương trình của đoạn parabol Đoạn parabol có đỉnh \( I(3, 9) \) và trục đối xứng song song với trục tung. Phương trình của đoạn parabol có dạng: \[ v(t) = a(t - 3)^2 + 9 \] Ta biết rằng tại \( t = 0 \), \( v(0) = 0 \): \[ 0 = a(0 - 3)^2 + 9 \] \[ 0 = 9a + 9 \] \[ a = -1 \] Vậy phương trình của đoạn parabol là: \[ v(t) = -(t - 3)^2 + 9 \] Bước 2: Tính diện tích dưới đoạn parabol Diện tích dưới đoạn parabol từ \( t = 0 \) đến \( t = 2 \) là: \[ A_1 = \int_{0}^{2} [-(t - 3)^2 + 9] \, dt \] Tính tích phân: \[ A_1 = \int_{0}^{2} (-t^2 + 6t - 9 + 9) \, dt \] \[ A_1 = \int_{0}^{2} (-t^2 + 6t) \, dt \] \[ A_1 = \left[ -\frac{t^3}{3} + 3t^2 \right]_{0}^{2} \] \[ A_1 = \left( -\frac{2^3}{3} + 3 \cdot 2^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 \right) \] \[ A_1 = \left( -\frac{8}{3} + 12 \right) - 0 \] \[ A_1 = \frac{-8 + 36}{3} \] \[ A_1 = \frac{28}{3} \] Bước 3: Xác định phương trình của đoạn đường thẳng Đoạn đường thẳng có hệ số góc \( \frac{1}{4} \) và đi qua điểm \( (2, 5) \). Phương trình của đoạn đường thẳng có dạng: \[ v(t) = \frac{1}{4}(t - 2) + 5 \] \[ v(t) = \frac{1}{4}t + 4 \] Bước 4: Tính diện tích dưới đoạn đường thẳng Diện tích dưới đoạn đường thẳng từ \( t = 2 \) đến \( t = 6 \) là: \[ A_2 = \int_{2}^{6} \left( \frac{1}{4}t + 4 \right) \, dt \] Tính tích phân: \[ A_2 = \int_{2}^{6} \left( \frac{1}{4}t + 4 \right) \, dt \] \[ A_2 = \left[ \frac{1}{8}t^2 + 4t \right]_{2}^{6} \] \[ A_2 = \left( \frac{1}{8} \cdot 6^2 + 4 \cdot 6 \right) - \left( \frac{1}{8} \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \right) \] \[ A_2 = \left( \frac{36}{8} + 24 \right) - \left( \frac{4}{8} + 8 \right) \] \[ A_2 = \left( \frac{9}{2} + 24 \right) - \left( \frac{1}{2} + 8 \right) \] \[ A_2 = \left( \frac{9}{2} + \frac{48}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{16}{2} \right) \] \[ A_2 = \frac{57}{2} - \frac{17}{2} \] \[ A_2 = \frac{40}{2} \] \[ A_2 = 20 \] Bước 5: Tính tổng diện tích Quảng đường \( x \) mà vật di chuyển được trong 6 giờ là tổng diện tích dưới cả hai đoạn đồ thị: \[ x = A_1 + A_2 \] \[ x = \frac{28}{3} + 20 \] \[ x = \frac{28}{3} + \frac{60}{3} \] \[ x = \frac{88}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{88}{3}} \] Tuy nhiên, đáp án này không nằm trong các lựa chọn đã cho. Do đó, có thể có lỗi trong việc tính toán hoặc hiểu đề bài. Hãy kiểm tra lại các bước để đảm bảo tính toán chính xác. Câu 5 Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng $(P)$ được cho là: \[ -3x + 2y + 4z - 1 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của $x$, $y$, và $z$ trong phương trình mặt phẳng. Do đó, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là: \[ \overrightarrow{n} = (-3, 2, 4) \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định vectơ nào là vectơ pháp tuyến của $(P)$: A. $\overrightarrow{n_4} = (-3, -2, 4)$ B. $\overrightarrow{n_1} = (-3, 2, -4)$ C. $\overrightarrow{n_4} = (3, -2, -4)$ D. $\overrightarrow{n_6} = (3, -2, 4)$ So sánh với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (-3, 2, 4)$, ta thấy rằng: - Đáp án A: $\overrightarrow{n_4} = (-3, -2, 4)$ không đúng vì thành phần thứ hai là $-2$ thay vì $2$. - Đáp án B: $\overrightarrow{n_1} = (-3, 2, -4)$ không đúng vì thành phần thứ ba là $-4$ thay vì $4$. - Đáp án C: $\overrightarrow{n_4} = (3, -2, -4)$ không đúng vì tất cả các thành phần đều sai. - Đáp án D: $\overrightarrow{n_6} = (3, -2, 4)$ không đúng vì thành phần thứ nhất là $3$ thay vì $-3$ và thành phần thứ hai là $-2$ thay vì $2$. Tuy nhiên, nếu ta nhận thấy rằng vectơ pháp tuyến có thể là bội của vectơ ban đầu, thì ta có thể nhân vectơ pháp tuyến với $-1$ để tìm ra vectơ pháp tuyến khác: \[ \overrightarrow{n} = (-3, 2, 4) \] \[ \overrightarrow{n'} = -1 \times (-3, 2, 4) = (3, -2, -4) \] Như vậy, vectơ pháp tuyến của $(P)$ có thể là $(3, -2, -4)$, nhưng trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng hoàn toàn. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{C. } \overrightarrow{n_4} = (3, -2, -4)} \] Câu 6 Phương trình mặt phẳng qua điểm \( A(-1;1;-2) \) và có vectơ pháp tuyến \( n = (1; -2; -2) \) được viết dưới dạng: \[ 1(x + 1) - 2(y - 1) - 2(z + 2) = 0 \] Ta sẽ thực hiện từng bước để biến đổi phương trình này: Bước 1: Mở ngoặc và phân phối các số hạng: \[ 1(x + 1) - 2(y - 1) - 2(z + 2) = 0 \] \[ x + 1 - 2y + 2 - 2z - 4 = 0 \] Bước 2: Gộp các số hạng tương tự lại với nhau: \[ x - 2y - 2z + 1 + 2 - 4 = 0 \] \[ x - 2y - 2z - 1 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ x - 2y - 2z - 1 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( x - 2y - 2z - 1 = 0 \) Đáp số: A. \( x - 2y - 2z - 1 = 0 \)