Toán lớp 11

8.11. Để chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập, ta cần chứng minh rằng \( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \). Vì A và B là hai biến cố xung khắc, nên \( P(A \cap B) = 0 \). Giả sử A và B độc lập, ta có: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Nhưng vì \( P(A \cap B) = 0 \), suy ra: \[ 0 = P(A) \cdot P(B) \] Mà theo đề bài, \( P(A) > 0 \) và \( P(B) > 0 \), nên \( P(A) \cdot P(B) > 0 \). Điều này mâu thuẫn với \( 0 = P(A) \cdot P(B) \). Vậy hai biến cố A và B không độc lập. 8.12. Ta cần tính xác suất của các biến cố A và B, cũng như \( P(A \cap B) \). - Số ước của 60 là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Tổng cộng có 12 số. - Số ước của 48 là: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Tổng cộng có 10 số. - Số ước chung của 60 và 48 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Tổng cộng có 6 số. Do đó: \[ P(A) = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \] \[ P(B) = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \] \[ P(A \cap B) = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \] Ta có: \[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{30} \] Vì \( P(A \cap B) = \frac{1}{10} \neq \frac{1}{30} = P(A) \cdot P(B) \), nên A và B là hai biến cố không độc lập. 8.13. a) Xác suất để cả hai viên bi đều màu xanh: \[ P(\text{cả hai viên bi đều màu xanh}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{16} = \frac{3}{16} \] b) Xác suất để cả hai viên bi đều màu đỏ: \[ P(\text{cả hai viên bi đều màu đỏ}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{16} = \frac{21}{80} \] c) Xác suất để cả hai viên bi đều cùng màu: \[ P(\text{cả hai viên bi đều cùng màu}) = \frac{3}{16} + \frac{21}{80} = \frac{15}{80} + \frac{21}{80} = \frac{36}{80} = \frac{9}{20} \] d) Xác suất để hai viên bi không cùng màu: \[ P(\text{hai viên bi không cùng màu}) = 1 - P(\text{cả hai viên bi đều cùng màu}) = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20} \] 8.14. Xác suất để trong hai quả cầu không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5: \[ P(\text{không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5}) = \left( \frac{8}{10} \right)^2 = \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} \] 8.15. a) Xác suất để cả hai học sinh đều đạt yêu cầu: \[ P(\text{cả hai học sinh đều đạt yêu cầu}) = 0.93 \cdot 0.87 = 0.8091 \] b) Xác suất để cả hai học sinh đều không đạt yêu cầu: \[ P(\text{cả hai học sinh đều không đạt yêu cầu}) = (1 - 0.93) \cdot (1 - 0.87) = 0.07 \cdot 0.13 = 0.0091 \] c) Xác suất để chỉ có đúng một học sinh đạt yêu cầu: \[ P(\text{chỉ có đúng một học sinh đạt yêu cầu}) = 0.93 \cdot (1 - 0.87) + (1 - 0.93) \cdot 0.87 = 0.93 \cdot 0.13 + 0.07 \cdot 0.87 = 0.1209 + 0.0609 = 0.1818 \] d) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh đạt yêu cầu: \[ P(\text{ít nhất một trong hai học sinh đạt yêu cầu}) = 1 - P(\text{cả hai học sinh đều không đạt yêu cầu}) = 1 - 0.0091 = 0.9909 \]