giải giúp em với ạ

Câu 1. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Lập luận từng bước: - Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là xác suất của phần giao giữa hai biến cố A và B chia cho xác suất của biến cố B. - Công thức này phản ánh tỷ lệ phần trăm của biến cố A trong trường hợp biến cố B đã xảy ra. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Câu 2. Khi cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x},$ trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,~x = 4$ quay quanh trục Ox, ta sẽ tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x = a,~x = b$ quay quanh trục Ox được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, hàm số là $y = \frac{1}{x},$ và khoảng giới hạn là từ $x = 1$ đến $x = 4$. Do đó, ta có: \[ V = \pi \int_{1}^{4} \left( \frac{1}{x} \right)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{1}^{4} \frac{1}{x^2} \, dx \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~V = \pi \int_{1}^{4} \frac{1}{x^2} \, dx \] Câu 3. Phương trình của mặt cầu có tâm $I(a,b,c)$ và bán kính $R$ là $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$. Trong bài này, tâm của mặt cầu là $I(7,6,-5)$ và bán kính là 9. Do đó, ta thay các giá trị vào phương trình mặt cầu: $(x - 7)^2 + (y - 6)^2 + (z + 5)^2 = 9^2$ Suy ra: $(x - 7)^2 + (y - 6)^2 + (z + 5)^2 = 81$ Vậy phương án đúng là: $D.~(x-7)^2+(y-6)^2+(z+5)^2=81.$ Câu 4. Để tìm tọa độ điểm \( A' \) là hình chiếu vuông góc của điểm \( A(2;3;5) \) lên trục Oy, ta thực hiện các bước sau: 1. Hiểu về hình chiếu vuông góc lên trục Oy: - Khi một điểm được chiếu vuông góc lên trục Oy, tọa độ x và z của điểm đó sẽ trở thành 0, còn tọa độ y giữ nguyên. 2. Áp dụng vào điểm \( A(2;3;5) \): - Tọa độ x của điểm \( A' \) sẽ là 0. - Tọa độ y của điểm \( A' \) sẽ là 3 (giống như tọa độ y của điểm \( A \)). - Tọa độ z của điểm \( A' \) sẽ là 0. Do đó, tọa độ của điểm \( A' \) là \( (0;3;0) \). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~A^\prime(0;3;0). \] Câu 5. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề đúng. A. $\int^b_a kf(x) dx = k \int^b_a f(x) dx$ Mệnh đề này đúng vì tích của một hằng số với một tích phân là tích phân của tích đó. B. $\int^b_a f(x) dx = \int^c_a f(x) dx - \int^b_c f(x) dx$ Mệnh đề này sai vì theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^b_a f(x) dx = \int^c_a f(x) dx + \int^b_c f(x) dx \] C. $\int^b_a [f(x) - g(x)] dx = \int^b_a f(x) dx + \int^b_a g(x) dx$ Mệnh đề này sai vì theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^b_a [f(x) - g(x)] dx = \int^b_a f(x) dx - \int^b_a g(x) dx \] D. $\int^b_a [f(x) + g(x)] dx = \int^b_a f(x) dx - \int^b_a g(x) dx$ Mệnh đề này sai vì theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^b_a [f(x) + g(x)] dx = \int^b_a f(x) dx + \int^b_a g(x) dx \] Vậy mệnh đề đúng là: \[ A. \int^b_a kf(x) dx = k \int^b_a f(x) dx \] Đáp án: A. Câu 6. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=9$. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình $(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=9$ với phương trình chuẩn, ta có: - Tâm của mặt cầu là $(-1, 2, 0)$. - Bán kính của mặt cầu là $\sqrt{9} = 3$. Do đó, đáp án đúng là: C. 3. Câu 7. Để tính $\int^3_1 f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^3_1 f(x) dx = \int^2_1 f(x) dx + \int^3_2 f(x) dx \] Ta đã biết: \[ \int^2_1 f(x) dx = 5 \] và \[ \int^3_2 f(x) dx = -2 \] Do đó: \[ \int^3_1 f(x) dx = 5 + (-2) = 3 \] Vậy đáp án đúng là: A. 3. Câu 8. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(3; -1; 4)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (-2; 4; 5)\) được viết dưới dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 2t \\ y = -1 + 4t \\ z = 4 + 5t \end{array} \right. \] Do đó, phương án đúng là: \[ A.\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 2t \\ y = -1 + 4t \\ z = 4 + 5t \end{array} \right. \]