jjjjjjjjjj

Ngocdiep Dang Dang

Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Theo đề bài, ta có $MN = 6$ km, suy ra $MI = IN = \frac{MN}{2} = \frac{6}{2} = 3$ km.

Điểm $P$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $MN$ và cách trung điểm $I$ của $MN$ một khoảng $3$ km, nên $PI = 3$ km và $PI \perp MN$.

Do $P$ nằm trên đường trung trực của $MN$ nên $PM = PN$.

Xét tam giác $PIM$ vuông tại $I$, ta có:

$PM^2 = PI^2 + IM^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$

$PM = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ km.

Gọi $H$ là điểm trên đoạn $PI$. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ $P$ đến $H$, sau đó chia ra hai nhánh đến $M$ và $N$. Tổng độ dài đường ống dẫn nước là $L = PH + HM + HN$.

Do $H$ nằm trên đoạn $PI$, mà $PI$ là đường trung trực của $MN$, nên $H$ cũng nằm trên đường trung trực của $MN$. Do đó, tam giác $HMN$ là tam giác cân tại $H$, suy ra $HM = HN$.

Vậy, tổng độ dài đường ống là $L = PH + 2HM$.

Đặt $IH = x$, với $H$ nằm trên đoạn $PI$ nên $0 \le x \le PI = 3$.

Khi đó, $PH = PI - IH = 3 - x$.

Xét tam giác $HIM$ vuông tại $I$, ta có:

$HM^2 = HI^2 + IM^2 = x^2 + 3^2 = x^2 + 9$

$HM = \sqrt{x^2 + 9}$.

Tổng độ dài đường ống là một hàm theo biến $x$:

$L(x) = (3 - x) + 2\sqrt{x^2 + 9}$, với $x \in [0, 3]$.

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $L(x)$ trên đoạn $[0, 3]$.

Tính đạo hàm của $L(x)$:

$L'(x) = \frac{d}{dx} \left( (3 - x) + 2(x^2 + 9)^{1/2} \right)$

$L'(x) = -1 + 2 \cdot \frac{1}{2}(x^2 + 9)^{-1/2} \cdot (2x)$

$L'(x) = -1 + \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 9}}$

Giải phương trình $L'(x) = 0$:

$-1 + \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 9}} = 0$

$\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 9}} = 1$

$2x = \sqrt{x^2 + 9}$

Điều kiện $x \ge 0$. Bình phương hai vế:

$(2x)^2 = (\sqrt{x^2 + 9})^2$

$4x^2 = x^2 + 9$

$3x^2 = 9$

$x^2 = 3$

$x = \sqrt{3}$ (vì $x \ge 0$).

Giá trị $x = \sqrt{3}$ nằm trong đoạn $[0, 3]$.

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta tính giá trị của $L(x)$ tại các điểm $x=0$, $x=\sqrt{3}$ và $x=3$.

$L(0) = (3 - 0) + 2\sqrt{0^2 + 9} = 3 + 2\sqrt{9} = 3 + 2(3) = 3 + 6 = 9$.

$L(\sqrt{3}) = (3 - \sqrt{3}) + 2\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 9} = 3 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3 + 9} = 3 - \sqrt{3} + 2\sqrt{12}$

$L(\sqrt{3}) = 3 - \sqrt{3} + 2(2\sqrt{3}) = 3 - \sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 3 + 3\sqrt{3}$.

$L(3) = (3 - 3) + 2\sqrt{3^2 + 9} = 0 + 2\sqrt{9 + 9} = 2\sqrt{18} = 2(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$.

So sánh các giá trị:

$L(0) = 9$

$L(\sqrt{3}) = 3 + 3\sqrt{3} \approx 3 + 3(1.732) = 3 + 5.196 = 8.196$

$L(3) = 6\sqrt{2} \approx 6(1.414) = 8.484$

Giá trị nhỏ nhất của $L(x)$ là $L(\sqrt{3}) = 3 + 3\sqrt{3}$.

Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất là $3 + 3\sqrt{3}$ km.

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười:

$3 + 3\sqrt{3} \approx 8.196$ km $\approx 8.2$ km.

Vậy, tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng $8.2$ km.