giải giúp tớ

Câu 1: Ta có biểu thức $P = \sqrt[4]{x^3}$ với $x > 0$. Để tìm giá trị của $P$, ta cần biến đổi biểu thức này về dạng lũy thừa. Biểu thức $\sqrt[4]{x^3}$ có thể viết lại dưới dạng lũy thừa như sau: \[ P = \sqrt[4]{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{4}} \] Áp dụng quy tắc lũy thừa $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, ta có: \[ P = (x^3)^{\frac{1}{4}} = x^{3 \cdot \frac{1}{4}} = x^{\frac{3}{4}} \] Do đó, biểu thức $P = x^{\frac{3}{4}}$. Nhìn vào các lựa chọn đã cho: - A. $P = x^3$ - B. $P = x^3$ - C. $P = x^2$ - D. $P = x^frac{3}{4}$ Chúng ta thấy rằng chỉ có đáp án D là đúng. Vậy, mệnh đề đúng là: \[ \boxed{D.~P = x^{\frac{3}{4}}} \] Câu 2: Để tính giá trị của biểu thức $I = \log \sqrt[3]{a}$, ta sẽ áp dụng các công thức và tính chất của lôgarit. Trước tiên, ta viết lại căn bậc ba dưới dạng lũy thừa: \[ \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \] Sau đó, ta áp dụng tính chất của lôgarit để biến đổi biểu thức: \[ I = \log \sqrt[3]{a} = \log \left( a^{\frac{1}{3}} \right) \] Theo tính chất lôgarit $\log(a^b) = b \cdot \log(a)$, ta có: \[ I = \log \left( a^{\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot \log(a) \] Do đó, giá trị của biểu thức $I$ là: \[ I = \frac{1}{3} \cdot \log(a) \] Như vậy, đáp án đúng là: \[ A.~I = \frac{1}{3} \] Đáp số: $A.~I = \frac{1}{3}$ Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi biểu thức $\log_{a}(a^{2}b)$. Bước 1: Áp dụng tính chất logarit $\log_{a}(xy) = \log_{a}x + \log_{a}y$: \[ \log_{a}(a^{2}b) = \log_{a}(a^{2}) + \log_{a}(b) \] Bước 2: Áp dụng tính chất logarit $\log_{a}(x^{n}) = n \cdot \log_{a}x$: \[ \log_{a}(a^{2}) = 2 \cdot \log_{a}(a) \] Vì $\log_{a}(a) = 1$, nên: \[ \log_{a}(a^{2}) = 2 \cdot 1 = 2 \] Bước 3: Kết hợp lại các kết quả: \[ \log_{a}(a^{2}b) = 2 + \log_{a}(b) \] Vậy, biểu thức $\log_{a}(a^{2}b)$ bằng $2 + \log_{a}(b)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~2 + \log_{a}b \] Câu 4: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log_3(3 - 2x) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit phải dương. 1. Điều kiện xác định: \[ 3 - 2x > 0 \] 2. Giải bất phương trình: \[ 3 > 2x \] \[ \frac{3}{2} > x \] \[ x < \frac{3}{2} \] Từ đó, tập xác định của hàm số là: \[ (-\infty, \frac{3}{2}) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~(-\infty, \frac{3}{2}) \] Câu 5: Để giải phương trình $5^{2x^2-t}=5$, ta làm như sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình đã cho là $5^{2x^2-t}=5$. Ta thấy rằng phương trình này luôn có nghĩa với mọi giá trị của $x$ và $t$, vì $5^{2x^2-t}$ luôn có nghĩa với mọi $x$ và $t$. 2. Phân tích phương trình: Ta có: \[ 5^{2x^2-t} = 5^1 \] Điều này có nghĩa là: \[ 2x^2 - t = 1 \] 3. Giải phương trình: Ta cần tìm các giá trị của $x$ sao cho $2x^2 - t = 1$. Để đơn giản hóa, ta giả sử $t$ là hằng số và giải phương trình bậc hai theo $x$: \[ 2x^2 - t = 1 \] \[ 2x^2 = 1 + t \] \[ x^2 = \frac{1 + t}{2} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{1 + t}{2}} \] 4. Kiểm tra các đáp án: Ta kiểm tra các đáp án đã cho để xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. - Đáp án A: $S = \{0, \frac{1}{2}\}$ - Thử $x = 0$: \[ 2(0)^2 - t = 1 \implies -t = 1 \implies t = -1 \] - Thử $x = \frac{1}{2}$: \[ 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - t = 1 \implies 2 \cdot \frac{1}{4} - t = 1 \implies \frac{1}{2} - t = 1 \implies t = -\frac{1}{2} \] Vì $t$ không thể đồng thời bằng $-1$ và $-\frac{1}{2}$, nên đáp án A không đúng. - Đáp án B: $S = \{0, 2\}$ - Thử $x = 0$: \[ 2(0)^2 - t = 1 \implies -t = 1 \implies t = -1 \] - Thử $x = 2$: \[ 2(2)^2 - t = 1 \implies 2 \cdot 4 - t = 1 \implies 8 - t = 1 \implies t = 7 \] Vì $t$ không thể đồng thời bằng $-1$ và $7$, nên đáp án B không đúng. - Đáp án C: $S = \{1, -\frac{1}{2}\}$ - Thử $x = 1$: \[ 2(1)^2 - t = 1 \implies 2 - t = 1 \implies t = 1 \] - Thử $x = -\frac{1}{2}$: \[ 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - t = 1 \implies 2 \cdot \frac{1}{4} - t = 1 \implies \frac{1}{2} - t = 1 \implies t = -\frac{1}{2} \] Vì $t$ không thể đồng thời bằng $1$ và $-\frac{1}{2}$, nên đáp án C không đúng. - Đáp án D: $S = \emptyset$ - Ta thấy rằng không có giá trị nào của $x$ và $t$ thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện trên, do đó tập nghiệm của phương trình là rỗng. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~S=\emptyset.} \] Câu 6: Trước tiên, ta xét các tính chất của tứ diện S.ABC: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại B, tức là \(AB \perp BC\). - \(SA \perp (ABC)\), tức là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Ta cần kiểm tra từng khẳng định: A. \(AH \perp AB\): - AH là đường cao của tam giác SAB, tức là AH vuông góc với SB. - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy AH vuông góc với AB. Do đó, khẳng định này không chắc chắn. B. \(AH \perp SC\): - Để chứng minh \(AH \perp SC\), ta cần xem xét các đường thẳng liên quan. - Ta biết rằng \(SA \perp (ABC)\), do đó \(SA \perp AB\) và \(SA \perp BC\). - Mặt khác, \(AH \perp SB\) (vì AH là đường cao của tam giác SAB). - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy \(AH \perp SC\). Do đó, khẳng định này cũng không chắc chắn. C. \(AH \perp (SAC)\): - Để chứng minh \(AH \perp (SAC)\), ta cần xem xét các đường thẳng liên quan. - Ta biết rằng \(SA \perp (ABC)\), do đó \(SA \perp AB\) và \(SA \perp BC\). - Mặt khác, \(AH \perp SB\) (vì AH là đường cao của tam giác SAB). - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy \(AH \perp (SAC)\). Do đó, khẳng định này cũng không chắc chắn. D. \(AH \perp AC\): - Để chứng minh \(AH \perp AC\), ta cần xem xét các đường thẳng liên quan. - Ta biết rằng \(SA \perp (ABC)\), do đó \(SA \perp AB\) và \(SA \perp BC\). - Mặt khác, \(AH \perp SB\) (vì AH là đường cao của tam giác SAB). - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy \(AH \perp AC\). Do đó, khẳng định này cũng không chắc chắn. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng không có khẳng định nào trong các lựa chọn A, B, C, D là chắc chắn đúng dựa trên các thông tin đã cho. Tuy nhiên, nếu ta xem xét kỹ hơn, ta có thể thấy rằng \(AH \perp SB\) và \(SB\) nằm trong mặt phẳng (SAB), do đó \(AH\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB) và không có thông tin nào cho thấy \(AH\) vuông góc với các đường thẳng khác ngoài SB. Do đó, khẳng định đúng là: \[ \boxed{A.~AH\bot AB.} \] Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng qua một điểm cho trước, có thể có nhiều mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. 1. Xác định điểm và đường thẳng: Ta có điểm O và đường thẳng $\Delta$. 2. Mặt phẳng vuông góc: Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta$ là mặt phẳng mà mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó đều vuông góc với đường thẳng $\Delta$. 3. Số lượng mặt phẳng: Qua một điểm O, có vô số mặt phẳng có thể được tạo ra sao cho mỗi mặt phẳng đều vuông góc với đường thẳng $\Delta$. Điều này là do ta có thể xoay mặt phẳng quanh đường thẳng $\Delta$ qua điểm O để tạo ra nhiều mặt phẳng khác nhau. Do đó, qua điểm O cho trước, có vô số mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta$ cho trước. Đáp án đúng là: B. Vô số. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi biểu thức $\log_2(a^2b)$. Bước 1: Áp dụng tính chất logarit $\log_b(xy) = \log_bx + \log_by$: \[ \log_2(a^2b) = \log_2(a^2) + \log_2(b) \] Bước 2: Áp dụng tính chất logarit $\log_b(x^n) = n\log_bx$: \[ \log_2(a^2) = 2\log_2(a) \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \log_2(a^2b) = 2\log_2(a) + \log_2(b) \] Như vậy, biểu thức $\log_2(a^2b)$ bằng $2\log_2(a) + \log_2(b)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~2 + \log_2b \] Đáp số: D. \(2 + \log_2b\) Câu 9: Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABC với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Đặc biệt, SA vuông góc với BC. - Mặt khác, vì H là hình chiếu vuông góc của S lên BC, nên SH vuông góc với BC. - Ta có hai đường thẳng SA và SH cùng vuông góc với BC và chúng cắt nhau tại S. Do đó, theo tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, BC vuông góc với mặt phẳng (SAH). - Vì BC vuông góc với mặt phẳng (SAH), nên BC vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAH). Đặc biệt, BC vuông góc với AH. Do đó, khẳng định đúng là: \[ B.~BC\bot AH. \] Đáp án: B. \(BC \bot AH.\) Câu 9: Trước tiên, ta xét các mặt phẳng liên quan trong hình chóp S.ABC: 1. Mặt phẳng (SAB) chứa cạnh SA và AB. 2. Mặt phẳng (SBC) chứa cạnh SB và BC. 3. Mặt phẳng (SAC) chứa cạnh SA và AC. 4. Mặt phẳng (ABC) chứa các cạnh AB, BC và AC. Biết rằng \(SA \perp (ABC)\), tức là đường thẳng SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). - Xét (SAB) và (ABC): - Vì \(SA \perp (ABC)\), nên \(SA \perp AB\) và \(SA \perp BC\). - Mặt phẳng (SAB) chứa SA và AB, do đó (SAB) vuông góc với (ABC) tại AB. - Kết luận: \((SAB) \perp (ABC)\). - Xét (SAC) và (ABC): - Vì \(SA \perp (ABC)\), nên \(SA \perp AC\) và \(SA \perp BC\). - Mặt phẳng (SAC) chứa SA và AC, do đó (SAC) vuông góc với (ABC) tại AC. - Kết luận: \((SAC) \perp (ABC)\). - Xét (SAC) và (SBC): - Vì \(SA \perp (ABC)\), nên \(SA \perp AC\) và \(SA \perp BC\). - Mặt phẳng (SAC) chứa SA và AC, mặt phẳng (SBC) chứa SA và BC. - Do \(SA \perp (ABC)\), nên \(SA \perp AC\) và \(SA \perp BC\), dẫn đến (SAC) vuông góc với (SBC) tại SA. - Kết luận: \((SAC) \perp (SBC)\). - Xét (SAB) và (SBC): - Vì \(SA \perp (ABC)\), nên \(SA \perp AB\) và \(SA \perp BC\). - Mặt phẳng (SAB) chứa SA và AB, mặt phẳng (SBC) chứa SA và BC. - Tuy nhiên, không có thông tin trực tiếp cho thấy (SAB) vuông góc với (SBC) tại một đường thẳng chung. - Kết luận: Không thể kết luận \((SAB) \perp (SBC)\) dựa trên thông tin đã cho. Do đó, kết luận sai là: \[ D.~(SAB)\bot(SBC). \] Câu 10: Để chọn khẳng định đúng trong các khẳng định về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, chúng ta sẽ phân tích từng khẳng định. A. Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng. B. Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng. Phân tích: - Khẳng định A nói rằng đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng. Đây là một khẳng định đúng theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. - Khẳng định B nói rằng đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng. Đây là một khẳng định sai vì hai đường thẳng trong mặt phẳng không nhất thiết phải cắt nhau, do đó không đủ điều kiện để đảm bảo đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Vậy khẳng định đúng là: A. Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng.