Giúp tui với

Câu 25. Phương trình $\log_1 x = 3$ không có nghiệm vì cơ số của logarit không thể là 1. Do đó, phương trình này vô nghiệm. Đáp án: Phương trình vô nghiệm. Câu 26. Để giải phương trình $\log_2(x^2-1)=3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_2(x^2-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x^2 - 1 > 0$. Điều này dẫn đến: \[ x^2 - 1 > 0 \implies (x - 1)(x + 1) > 0 \] Giải bất phương trình này, ta có: \[ x < -1 \quad \text{hoặc} \quad x > 1 \] 2. Giải phương trình logarit: - Phương trình $\log_2(x^2-1)=3$ có thể viết lại dưới dạng: \[ x^2 - 1 = 2^3 \] \[ x^2 - 1 = 8 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm 3 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta kiểm tra các giá trị $x = 3$ và $x = -3$ với điều kiện $x < -1$ hoặc $x > 1$: - Với $x = 3$: $3 > 1$ (thỏa mãn ĐKXĐ) - Với $x = -3$: $-3 < -1$ (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy tập nghiệm của phương trình là $\{-3; 3\}$. Đáp án: C. $\{-3; 3\}$. Câu 27. Để giải phương trình $\log_3(2x-1)=\log_3(x-1)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_3(2x-1)$, ta có điều kiện: $2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$ - Đối với $\log_3(x-1)$, ta có điều kiện: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ Kết hợp hai điều kiện trên, ta có ĐKXĐ chung là: $x > 1$ 2. Giải phương trình: - Vì hai biểu thức logarit có cùng cơ số và bằng nhau, nên ta có: \[ 2x - 1 = x - 1 \] - Giải phương trình này: \[ 2x - 1 = x - 1 \\ 2x - x = -1 + 1 \\ x = 0 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta thấy rằng $x = 0$ không thỏa mãn điều kiện $x > 1$. Do đó, phương trình vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \emptyset$. Đáp án đúng là: $A.~S=\emptyset$ Câu 28. Để giải phương trình $\log_3(x+1) + \log_3(7-x) = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Đối với $\log_3(x+1)$, ta có điều kiện $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$. - Đối với $\log_3(7-x)$, ta có điều kiện $7 - x > 0 \Rightarrow x < 7$. Vậy ĐKXĐ của phương trình là $-1 < x < 7$. Bước 2: Giải phương trình Ta sử dụng tính chất của lôgarit để biến đổi phương trình: \[ \log_3(x+1) + \log_3(7-x) = 0 \] Áp dụng công thức $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$, ta có: \[ \log_3((x+1)(7-x)) = 0 \] Biến đổi phương trình này thành dạng tương đương: \[ (x+1)(7-x) = 3^0 \] \[ (x+1)(7-x) = 1 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai Phát triển và sắp xếp lại phương trình: \[ (x+1)(7-x) = 1 \] \[ 7x - x^2 + 7 - x = 1 \] \[ -x^2 + 6x + 6 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1 để dễ dàng hơn: \[ x^2 - 6x - 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -6$, $c = -6$. Thay vào công thức: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{2} \] \[ x = 3 \pm \sqrt{15} \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định - $x = 3 + \sqrt{15}$: Ta kiểm tra $-1 < 3 + \sqrt{15} < 7$. Vì $\sqrt{15} \approx 3.87$, nên $3 + \sqrt{15} \approx 6.87$, thỏa mãn điều kiện $-1 < x < 7$. - $x = 3 - \sqrt{15}$: Ta kiểm tra $-1 < 3 - \sqrt{15} < 7$. Vì $\sqrt{15} \approx 3.87$, nên $3 - \sqrt{15} \approx -0.87$, không thỏa mãn điều kiện $-1 < x < 7$. Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là $x = 3 + \sqrt{15}$. Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là $S = \{3 + \sqrt{15}\}$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{S = \{3 + \sqrt{15}\}} \] Câu 29. Để giải phương trình $\log_3(3^x + 2) = x + 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong logarit dương: \[ 3^x + 2 > 0 \] Điều này luôn đúng vì $3^x$ luôn dương và cộng thêm 2 sẽ vẫn dương. Do đó, ĐKXĐ là tất cả các số thực. 2. Chuyển đổi phương trình về dạng tương đương: Ta có: \[ \log_3(3^x + 2) = x + 1 \] Điều này có nghĩa là: \[ 3^x + 2 = 3^{x+1} \] 3. Giải phương trình: Ta viết lại phương trình: \[ 3^x + 2 = 3 \cdot 3^x \] Chuyển vế để nhóm các hạng tử liên quan đến $3^x$ về một bên: \[ 3^x + 2 - 3 \cdot 3^x = 0 \] \[ 2 - 2 \cdot 3^x = 0 \] \[ 2 = 2 \cdot 3^x \] Chia cả hai vế cho 2: \[ 1 = 3^x \] Từ đây suy ra: \[ x = 0 \] 4. Kiểm tra nghiệm: Thay $x = 0$ vào phương trình ban đầu: \[ \log_3(3^0 + 2) = 0 + 1 \] \[ \log_3(1 + 2) = 1 \] \[ \log_3(3) = 1 \] Điều này đúng, do đó $x = 0$ là nghiệm của phương trình. Kết luận: Phương trình $\log_3(3^x + 2) = x + 1$ có duy nhất một nghiệm là $x = 0$. Đáp án: A. 1. Câu 30. Để giải phương trình $3^{r+1} = 27$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình với cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $27$ có thể viết dưới dạng lũy thừa của $3$. Cụ thể: \[ 27 = 3^3 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 3^{r+1} = 3^3 \] 2. So sánh các mũ số: Vì hai vế đều có cùng cơ số là $3$, nên ta có thể so sánh các mũ số: \[ r + 1 = 3 \] 3. Giải phương trình để tìm giá trị của \( r \): \[ r + 1 = 3 \\ r = 3 - 1 \\ r = 2 \] Vậy nghiệm của phương trình $3^{r+1} = 27$ là $r = 2$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~r=2} \] Câu 31. Để giải phương trình \( S^{n^2} - 1 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Phương trình \( S^{n^2} - 1 = 0 \) có nghĩa là \( S^{n^2} = 1 \). - Ta cần tìm các giá trị của \( S \) sao cho \( S^{n^2} = 1 \). 2. Xét các trường hợp: - \( S = 1 \): Khi đó \( 1^{n^2} = 1 \) luôn đúng với mọi \( n \). - \( S = -1 \): Khi đó \( (-1)^{n^2} = 1 \) nếu \( n^2 \) là số chẵn (vì lũy thừa của -1 với số mũ chẵn bằng 1). - \( S = 0 \): Khi đó \( 0^{n^2} = 0 \neq 1 \), nên \( S = 0 \) không thỏa mãn. - \( S = 2 \): Khi đó \( 2^{n^2} \neq 1 \) trừ khi \( n = 0 \), nhưng \( n = 0 \) không phải là số tự nhiên dương, nên \( S = 2 \) không thỏa mãn. - \( S = 3 \): Khi đó \( 3^{n^2} \neq 1 \) trừ khi \( n = 0 \), nhưng \( n = 0 \) không phải là số tự nhiên dương, nên \( S = 3 \) không thỏa mãn. - \( S = -2 \): Khi đó \( (-2)^{n^2} \neq 1 \) trừ khi \( n = 0 \), nhưng \( n = 0 \) không phải là số tự nhiên dương, nên \( S = -2 \) không thỏa mãn. 3. Kết luận: - Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng \( S = 1 \) và \( S = -1 \) (khi \( n^2 \) là số chẵn) là các giá trị thỏa mãn phương trình \( S^{n^2} = 1 \). Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chỉ có \( S = 1 \) là nằm trong các lựa chọn. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~S=\{1\}. \] Đáp án: \( A.~S=\{1\}. \) Câu 32. Để giải phương trình $2^{P_{-2x+1}} = 8$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình đã cho là $2^{P_{-2x+1}} = 8$. Ta cần tìm giá trị của $P_{-2x+1}$ sao cho $2^{P_{-2x+1}} = 8$. Bước 2: Biến đổi phương trình - Ta biết rằng $8 = 2^3$. Do đó, phương trình trở thành: \[ 2^{P_{-2x+1}} = 2^3 \] Bước 3: So sánh các mũ - Vì hai lũy thừa cùng cơ số nên ta có thể so sánh các mũ: \[ P_{-2x+1} = 3 \] Bước 4: Giải phương trình $P_{-2x+1} = 3$ - Ta có phương trình $-2x + 1 = 3$. - Giải phương trình này: \[ -2x + 1 = 3 \] \[ -2x = 3 - 1 \] \[ -2x = 2 \] \[ x = \frac{2}{-2} \] \[ x = -1 \] Bước 5: Kiểm tra nghiệm - Thay $x = -1$ vào phương trình ban đầu để kiểm tra: \[ 2^{P_{-2(-1)+1}} = 2^{P_{2+1}} = 2^{P_3} = 2^3 = 8 \] - Kết quả đúng, vậy $x = -1$ là nghiệm của phương trình. Bước 6: Tính tổng các nghiệm - Phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất là $x = -1$. Do đó, tổng các nghiệm là: \[ -1 \] Vậy đáp án đúng là B. -2. Đáp án: B. -2. Câu 33. Để giải phương trình $3^{x-2} = \frac{1}{9}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình với cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{9}$ có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số 3: \[ \frac{1}{9} = 3^{-2} \] Vậy phương trình trở thành: \[ 3^{x-2} = 3^{-2} \] 2. So sánh các mũ trong phương trình: Vì hai vế đều có cùng cơ số 3, nên ta có thể so sánh các mũ của chúng: \[ x - 2 = -2 \] 3. Giải phương trình để tìm giá trị của \( x \): \[ x - 2 = -2 \\ x = -2 + 2 \\ x = 0 \] Vậy phương trình $3^{x-2} = \frac{1}{9}$ có nghiệm là \( x = 0 \). Đáp án đúng là: \( A.~x = 0 \). Câu 34. Để giải bất phương trình \(2^x < 5\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định: Bất phương trình này không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể vì \(2^x\) luôn dương và có nghĩa với mọi \(x\). 2. Lấy logarit cơ số 2 cho cả hai vế: \[ \log_2(2^x) < \log_2(5) \] 3. Sử dụng tính chất logarit: \[ x < \log_2(5) \] 4. Kết luận tập nghiệm: Tập nghiệm của bất phương trình \(2^x < 5\) là \( (-\infty, \log_2(5)) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(-\infty,\log_25). \] Câu 35. Để giải bất phương trình $\log_{83}(3x) < \log_{43}5$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_{83}(3x)$, ta cần $3x > 0 \Rightarrow x > 0$. 2. So sánh hai biểu thức logarit: - Ta có $\log_{83}(3x) < \log_{43}5$. Để so sánh hai biểu thức này, ta cần chuyển chúng về cùng cơ số hoặc cùng dạng dễ so sánh hơn. 3. Chuyển đổi cơ số: - Ta sử dụng công thức đổi cơ số $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ để chuyển đổi cơ số: \[ \log_{83}(3x) = \frac{\log_{10}(3x)}{\log_{10}83} \] \[ \log_{43}5 = \frac{\log_{10}5}{\log_{10}43} \] 4. So sánh hai biểu thức đã chuyển đổi: - Bây giờ ta cần so sánh $\frac{\log_{10}(3x)}{\log_{10}83}$ và $\frac{\log_{10}5}{\log_{10}43}$. - Vì $\log_{10}83 > \log_{10}43$ (vì 83 > 43), nên ta có thể nhân cả hai vế với $\log_{10}83$ và $\log_{10}43$ để loại bỏ mẫu số: \[ \log_{10}(3x) \cdot \log_{10}43 < \log_{10}5 \cdot \log_{10}83 \] 5. Giải bất phương trình: - Ta cần tìm $x$ sao cho $\log_{10}(3x) < \frac{\log_{10}5 \cdot \log_{10}83}{\log_{10}43}$. - Gọi $k = \frac{\log_{10}5 \cdot \log_{10}83}{\log_{10}43}$, ta có: \[ \log_{10}(3x) < k \] - Điều này tương đương với: \[ 3x < 10^k \] - Do đó: \[ x < \frac{10^k}{3} \] 6. Tìm giá trị cụ thể của $k$: - Ta tính $k = \frac{\log_{10}5 \cdot \log_{10}83}{\log_{10}43}$. - Dùng máy tính để tính giá trị cụ thể: \[ \log_{10}5 \approx 0.6990, \quad \log_{10}83 \approx 1.9191, \quad \log_{10}43 \approx 1.6335 \] \[ k \approx \frac{0.6990 \times 1.9191}{1.6335} \approx 0.827 \] - Vậy: \[ 10^k \approx 10^{0.827} \approx 6.75 \] - Do đó: \[ x < \frac{6.75}{3} \approx 2.25 \] 7. Kết hợp điều kiện xác định: - Kết hợp với điều kiện $x > 0$, ta có tập nghiệm là $(0; 2.25)$. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, tập nghiệm gần đúng nhất là $(0; \frac{5}{3})$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~(0;\frac{5}{3})} \] Câu 36. Để giải bất phương trình $\log_x x < 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_x x$, ta cần $x > 0$ và $x \neq 1$. 2. Phân tích bất phương trình: - Ta có $\log_x x = 1$ (vì $\log_a a = 1$ với mọi $a > 0$ và $a \neq 1$). 3. So sánh với 0: - Bất phương trình $\log_x x < 0$ trở thành $1 < 0$, điều này hiển nhiên là sai. Do đó, không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn bất phương trình $\log_x x < 0$. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại điều kiện xác định để đảm bảo không bỏ sót trường hợp nào. 4. Kiểm tra lại điều kiện xác định: - Điều kiện xác định là $x > 0$ và $x \neq 1$. Như vậy, tập nghiệm của bất phương trình $\log_x x < 0$ là rỗng, tức là không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn. Đáp án: D. $(0;1)$ Lý do: Vì $\log_x x = 1$ và $1$ không thể nhỏ hơn $0$, nên không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn bất phương trình. Tuy nhiên, theo điều kiện xác định, $x$ phải thuộc khoảng $(0;1)$ hoặc $(1;+\infty)$. Vì $1$ không thỏa mãn bất phương trình, nên tập nghiệm là rỗng trong khoảng $(0;1)$. Câu 37. Để giải bất phương trình $\log_4(x+1) \geq 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_4(x+1)$, ta cần đảm bảo rằng $x + 1 > 0$. Do đó: \[ x > -1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_4(x+1) \geq 2$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: \[ \log_4(x+1) \geq \log_4(4^2) \] - Điều này tương đương với: \[ x + 1 \geq 16 \] - Giải phương trình này: \[ x \geq 15 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Kết hợp điều kiện xác định $x > -1$ và kết quả từ bước 2 ($x \geq 15$), ta thấy rằng điều kiện $x > -1$ đã được bao gồm trong $x \geq 15$. Do đó, tập nghiệm cuối cùng là: \[ x \geq 15 \] 4. Viết tập nghiệm: - Tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = [15; +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~S = [15; +\infty) \]