Câu 4: Giám đốc một nhà hát đang phân vân trong việc xác định mức giá vé xem các chương trình được trình chiêu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng nó sẽ quyết định nhà hát thu được bao nhiêu lợi nhu...

Câu 4: Gọi giá vé vào cửa là \( x \) nghìn đồng/người, \( x > 0 \). Theo đề bài, nếu giá vé vào cửa là 200 nghìn đồng/người thì trung bình có 1000 người đến xem. Nếu tăng thêm 10 nghìn đồng/người thì sẽ mất 100 khách hàng hoặc giảm đi 10 nghìn đồng/người thì sẽ có thêm 100 khách hàng trong số trung bình. Số khách hàng đến xem khi giá vé là \( x \) nghìn đồng/người là: \[ 1000 - 10 \left( \frac{x - 200}{10} \right) = 1000 - (x - 200) = 3000 - x \] Lợi nhuận từ dịch vụ đi kèm mỗi khách hàng là 20 nghìn đồng, nên tổng lợi nhuận từ dịch vụ đi kèm là: \[ 20 \times (3000 - x) = 60000 - 20x \] Thu nhập từ bán vé là: \[ x \times (3000 - x) = 3000x - x^2 \] Tổng thu nhập của nhà hát là: \[ f(x) = 3000x - x^2 + 60000 - 20x = -x^2 + 2980x + 60000 \] Để tìm giá vé vào cửa sao cho thu nhập là lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \). Ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = -2x + 2980 \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ -2x + 2980 = 0 \] \[ x = 1490 \] Ta kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \): - Khi \( x < 1490 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số đồng biến) - Khi \( x > 1490 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số nghịch biến) Vậy hàm số \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 1490 \). Do đó, giá vé vào cửa để thu nhập là lớn nhất là 1490 nghìn đồng/người. Đáp số: 1490 nghìn đồng/người.