giải giúp mình với ạ

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số. 2. Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \] \[ y' = -3x^2 + 6x - 3 \] Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ y' = -3x^2 + 6x - 3 = 0 \] \[ -3(x^2 - 2x + 1) = 0 \] \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] \[ (x - 1)^2 = 0 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Xác định tính chất của điểm cực trị: - Để xác định tính chất của điểm cực trị, chúng ta có thể sử dụng kiểm tra đạo hàm hai bên điểm cực trị hoặc kiểm tra đạo hàm bậc hai. Kiểm tra đạo hàm bậc hai: \[ y'' = -6x + 6 \] Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = -6(1) + 6 = 0 \] Do đạo hàm bậc hai bằng 0 tại \( x = 1 \), chúng ta cần kiểm tra thêm bằng cách sử dụng đạo hàm bậc nhất: - Kiểm tra đạo hàm một bên trái và phải điểm \( x = 1 \): - Khi \( x < 1 \), chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = -3(0)^2 + 6(0) - 3 = -3 < 0 \] - Khi \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = -3(2)^2 + 6(2) - 3 = -3(4) + 12 - 3 = -12 + 12 - 3 = -3 < 0 \] Như vậy, đạo hàm \( y' \) luôn âm ở cả hai bên của \( x = 1 \). Điều này cho thấy hàm số không đạt cực đại hay cực tiểu tại \( x = 1 \), mà chỉ là điểm uốn. Tuy nhiên, từ các lựa chọn đã cho, chúng ta thấy rằng: - A. Hàm số luôn nghịch biến trên R: Sai vì đạo hàm không luôn âm. - B. Hàm số luôn đồng biến trên R: Sai vì đạo hàm không luôn dương. - C. Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \): Sai vì đạo hàm không đổi dấu từ âm sang dương. - D. Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \): Sai vì đạo hàm không đổi dấu từ dương sang âm. Vậy, không có mệnh đề nào trong các lựa chọn trên là đúng. Tuy nhiên, nếu phải chọn một đáp án gần đúng nhất, chúng ta có thể chọn D vì nó gần đúng hơn so với các lựa chọn khác. Đáp án: D. Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \). Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm của hàm số. 3. Xác định dấu của đạo hàm để tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. 4. Kết luận dựa trên các thông tin đã tìm được. Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số: Hàm số $y = \frac{2x - 4}{x - 1}$ có mẫu số là $x - 1$. Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0, tức là $x \neq 1$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số, ta có: \[ y' = \left( \frac{2x - 4}{x - 1} \right)' = \frac{(2x - 4)'(x - 1) - (2x - 4)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{2(x - 1) - (2x - 4)}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x + 4}{(x - 1)^2} = \frac{2}{(x - 1)^2} \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm: Ta thấy rằng $(x - 1)^2 > 0$ với mọi $x \neq 1$. Do đó, $y' = \frac{2}{(x - 1)^2} > 0$ với mọi $x \neq 1$. Bước 4: Kết luận: Vì đạo hàm $y'$ luôn dương với mọi $x \neq 1$, nên hàm số $y = \frac{2x - 4}{x - 1}$ là hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Do đó, mệnh đề đúng là: C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đáp án: C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Câu 3. Để tìm số tiếp tuyến đi qua điểm \( A(1; -6) \) của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \( M(x_0, y_0) \): - Gọi \( M(x_0, y_0) \) là điểm trên đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \). Ta có \( y_0 = x_0^3 - 3x_0 + 1 \). - Đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \) là \( y' = 3x^2 - 3 \). - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \( M(x_0, y_0) \) là: \[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \] Thay \( y_0 = x_0^3 - 3x_0 + 1 \) và \( y'(x_0) = 3x_0^2 - 3 \), ta có: \[ y - (x_0^3 - 3x_0 + 1) = (3x_0^2 - 3)(x - x_0) \] 2. Thay tọa độ điểm \( A(1, -6) \) vào phương trình tiếp tuyến: - Vì điểm \( A(1, -6) \) nằm trên tiếp tuyến, thay \( x = 1 \) và \( y = -6 \) vào phương trình tiếp tuyến: \[ -6 - (x_0^3 - 3x_0 + 1) = (3x_0^2 - 3)(1 - x_0) \] Rút gọn phương trình: \[ -6 - x_0^3 + 3x_0 - 1 = 3x_0^2 - 3 - 3x_0^3 + 3x_0 \] \[ -7 - x_0^3 + 3x_0 = 3x_0^2 - 3 - 3x_0^3 + 3x_0 \] \[ -7 - x_0^3 + 3x_0 = 3x_0^2 - 3 - 3x_0^3 + 3x_0 \] \[ -7 - x_0^3 = 3x_0^2 - 3 - 3x_0^3 \] \[ -7 + 2x_0^3 = 3x_0^2 - 3 \] \[ 2x_0^3 - 3x_0^2 - 4 = 0 \] 3. Giải phương trình \( 2x_0^3 - 3x_0^2 - 4 = 0 \): - Ta thử nghiệm các giá trị \( x_0 \): - \( x_0 = 2 \): \[ 2(2)^3 - 3(2)^2 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0 \] - \( x_0 = -1 \): \[ 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 4 = -2 - 3 - 4 = -9 \neq 0 \] - \( x_0 = 1 \): \[ 2(1)^3 - 3(1)^2 - 4 = 2 - 3 - 4 = -5 \neq 0 \] - Do đó, phương trình \( 2x_0^3 - 3x_0^2 - 4 = 0 \) có nghiệm duy nhất \( x_0 = 2 \). 4. Kết luận: - Ta đã tìm được một nghiệm \( x_0 = 2 \), do đó có một tiếp tuyến đi qua điểm \( A(1, -6) \) của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \). Vậy số tiếp tuyến đi qua điểm \( A(1, -6) \) của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \) là 1. Đáp án: A. 1 Câu 4. Để tìm đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ và có hệ số góc nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x \] 2. Xác định hệ số góc nhỏ nhất: Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại điểm tiếp xúc. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của đạo hàm $y'$: \[ y' = 3x^2 - 6x \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của $y'$, ta tính đạo hàm của $y'$: \[ (y')' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 \] Đặt $(y')' = 0$ để tìm điểm cực trị: \[ 6x - 6 = 0 \implies x = 1 \] Kiểm tra dấu của $(y')'$ ở hai bên điểm $x = 1$: - Khi $x < 1$, $(y')' < 0$ - Khi $x > 1$, $(y')' > 0$ Vậy $x = 1$ là điểm cực tiểu của $y'$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $y'$ là: \[ y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 \] 3. Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất: Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x = 1$ sẽ có hệ số góc là $-3$. Ta tính tung độ của điểm này trên đồ thị: \[ y(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] Vậy điểm tiếp xúc là $(1, 0)$. 4. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1, 0)$ với hệ số góc $-3$ là: \[ y - 0 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 3 \] Do đó, đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ và có hệ số góc nhỏ nhất là: \[ \boxed{A.~y = -3x + 3} \] Câu 5. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. 1. Tập xác định của hàm số: Hàm số $y=\frac{x^4}{4} + x^3 - 4x + 1$ là một đa thức, do đó tập xác định của nó là $\mathbb{R}$. Mệnh đề A đúng. 2. Kiểm tra tính đồng biến và nghịch biến: Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{x^4}{4} + x^3 - 4x + 1\right)' = x^3 + 3x^2 - 4 \] Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $y' = 0$: \[ x^3 + 3x^2 - 4 = 0 \] Ta thử nghiệm các giá trị để tìm nghiệm của phương trình này: - Thử $x = 1$: \[ 1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 \] Vậy $x = 1$ là một nghiệm. - Thử $x = -2$: \[ (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0 \] Vậy $x = -2$ cũng là một nghiệm. Ta phân tích phương trình thành nhân tử: \[ x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x + 2)^2 = 0 \] Các nghiệm là $x = 1$ và $x = -2$. Ta xét dấu của đạo hàm $y'$ trên các khoảng: - Khi $x < -2$, chọn $x = -3$: \[ y' = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 4 = -27 + 27 - 4 = -4 < 0 \] Vậy $y'$ âm trên khoảng $(-\infty, -2)$. - Khi $-2 < x < 1$, chọn $x = 0$: \[ y' = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4 < 0 \] Vậy $y'$ âm trên khoảng $(-2, 1)$. - Khi $x > 1$, chọn $x = 2$: \[ y' = 2^3 + 3(2)^2 - 4 = 8 + 12 - 4 = 16 > 0 \] Vậy $y'$ dương trên khoảng $(1, +\infty)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1, +\infty)$. Mệnh đề B đúng, mệnh đề C sai. 3. Kiểm tra cực đại và cực tiểu: - Tại $x = -2$, ta thấy $y'$ chuyển từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = -2$. - Tại $x = 1$, ta thấy $y'$ chuyển từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$. Do đó, mệnh đề D sai vì hàm số đạt cực tiểu tại $x = -2$, không phải cực đại. Kết luận: Mệnh đề sai là D. Câu 6. Để tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ tại điểm có hoành độ thỏa mãn $f''(x) = 0$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số. $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x$ $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6$ Bước 2: Tìm giá trị của $x$ sao cho $f''(x) = 0$. $6x - 6 = 0$ $x = 1$ Bước 3: Tính giá trị của hàm số và đạo hàm bậc nhất tại điểm $x = 1$. $f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ $f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 = 3 - 6 = -3$ Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1, 0)$ với hệ số góc là $-3$. Phương trình tiếp tuyến có dạng: $y = f'(1)(x - 1) + f(1)$ Thay vào ta có: $y = -3(x - 1) + 0$ $y = -3x + 3$ Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = -3x + 3$. Đáp án đúng là B. Câu 7. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2x}{x-1}$ tại điểm có tung độ bằng 3, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm trên đồ thị có tung độ bằng 3: Ta có $y = 3$, thay vào phương trình hàm số: \[ 3 = \frac{2x}{x-1} \] Nhân cả hai vế với $(x - 1)$ để loại bỏ mẫu số: \[ 3(x - 1) = 2x \] \[ 3x - 3 = 2x \] \[ 3x - 2x = 3 \] \[ x = 3 \] Vậy điểm cần tìm có tọa độ là $(3, 3)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{2x}{x-1} \right)' = \frac{(2x)'(x-1) - 2x(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2(x-1) - 2x}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} \] 3. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $(3, 3)$: \[ y'(3) = \frac{-2}{(3-1)^2} = \frac{-2}{2^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] 4. Lập phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Thay $(x_0, y_0) = (3, 3)$ và $f'(3) = -\frac{1}{2}$ vào phương trình trên: \[ y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 3) \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: \[ 2(y - 3) = -(x - 3) \] \[ 2y - 6 = -x + 3 \] \[ x + 2y - 9 = 0 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2x}{x-1}$ tại điểm có tung độ bằng 3 là: \[ \boxed{x + 2y - 9 = 0} \] Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^4}{4} + x^3 - 4x + 1 \). 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \). 3. Tính tổng \( x_1 + x_2 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y \). \[ y = \frac{x^4}{4} + x^3 - 4x + 1 \] Đạo hàm của \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^4}{4}\right) + \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(1) \] \[ y' = x^3 + 3x^2 - 4 \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \). \[ x^3 + 3x^2 - 4 = 0 \] Phương trình này là một phương trình bậc ba. Để giải phương trình bậc ba, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích đa thức hoặc các phương pháp khác. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta có thể nhận thấy rằng phương trình có thể được viết lại dưới dạng: \[ x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)^2 \] Do đó, phương trình \( x^3 + 3x^2 - 4 = 0 \) có các nghiệm: \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2 \] Như vậy, các nghiệm của phương trình \( y' = 0 \) là \( x_1 = 1 \) và \( x_2 = -2 \). Bước 3: Tính tổng \( x_1 + x_2 \). \[ x_1 + x_2 = 1 + (-2) = -1 \] Vậy, đáp án đúng là: A. -1 Đáp số: A. -1 Câu 9. Để hàm số $y = x^4 - 2(m + 1)x^2 - 3$ có ba cực trị, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số có ba nghiệm phân biệt. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2(m + 1)x^2 - 3) = 4x^3 - 4(m + 1)x \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 4x^3 - 4(m + 1)x = 0 \] \[ 4x(x^2 - (m + 1)) = 0 \] Bước 3: Giải phương trình: \[ 4x(x^2 - (m + 1)) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = m + 1 \] Bước 4: Để hàm số có ba cực trị, phương trình $x^2 = m + 1$ phải có hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều này xảy ra khi: \[ m + 1 > 0 \] \[ m > -1 \] Bước 5: Kiểm tra lại điều kiện để đảm bảo rằng các nghiệm phân biệt: - Nếu $m = -1$, thì $x^2 = 0$, tức là chỉ có một nghiệm duy nhất $x = 0$. Như vậy, không thỏa mãn điều kiện có ba cực trị. - Nếu $m > -1$, thì $x^2 = m + 1$ có hai nghiệm phân biệt $x = \sqrt{m + 1}$ và $x = -\sqrt{m + 1}$, cùng với nghiệm $x = 0$. Như vậy, tổng cộng có ba nghiệm phân biệt. Vậy, điều kiện để hàm số có ba cực trị là: \[ m > -1 \] Đáp án đúng là: B. $m > -1$ Câu 10. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{2x - 1}$ tại điểm có hoành độ bằng 1, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc Thay $x = 1$ vào phương trình hàm số: \[ y = \frac{1 + 2}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{3}{1} = 3 \] Vậy điểm tiếp xúc là $(1, 3)$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Hàm số $y = \frac{x + 2}{2x - 1}$ có dạng phân thức. Ta tính đạo hàm theo công thức: \[ y' = \frac{(x + 2)'(2x - 1) - (x + 2)(2x - 1)'}{(2x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(1)(2x - 1) - (x + 2)(2)}{(2x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x - 1 - 2x - 4}{(2x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-5}{(2x - 1)^2} \] Bước 3: Tính giá trị đạo hàm tại điểm tiếp xúc Thay $x = 1$ vào đạo hàm: \[ y'(1) = \frac{-5}{(2 \cdot 1 - 1)^2} = \frac{-5}{1^2} = -5 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $-5$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Thay $(x_0, y_0) = (1, 3)$ và $k = -5$: \[ y - 3 = -5(x - 1) \] \[ y - 3 = -5x + 5 \] \[ y = -5x + 8 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = -5x + 8$. Đáp án đúng là B. Câu 11. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = (x^2 + 1) \sqrt{x - 2} \) tại \( x = 3 \), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số. Bước 1: Xác định các hàm con - \( u(x) = x^2 + 1 \) - \( v(x) = \sqrt{x - 2} \) Bước 2: Tính đạo hàm của các hàm con - \( u'(x) = 2x \) - \( v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} \) Bước 3: Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số \[ y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Thay vào: \[ y' = 2x \cdot \sqrt{x - 2} + (x^2 + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} \] Bước 4: Thay \( x = 3 \) vào biểu thức đạo hàm \[ y'(3) = 2(3) \cdot \sqrt{3 - 2} + (3^2 + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{3 - 2}} \] \[ y'(3) = 6 \cdot 1 + (9 + 1) \cdot \frac{1}{2 \cdot 1} \] \[ y'(3) = 6 + 10 \cdot \frac{1}{2} \] \[ y'(3) = 6 + 5 \] \[ y'(3) = 11 \] Vậy đáp án đúng là: C. 11 Câu 12. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. Hàm số không có cực trị: - Ta xét hàm số \( y = |x| \). - Trên khoảng \( (-\infty, 0) \), hàm số \( y = -x \) là hàm giảm. - Trên khoảng \( (0, +\infty) \), hàm số \( y = x \) là hàm tăng. - Tại điểm \( x = 0 \), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 0. Tuy nhiên, do hàm số không đổi dấu từ giảm sang tăng hoặc ngược lại tại điểm này, nên nó không được coi là cực trị theo định nghĩa của cực đại và cực tiểu. Do đó, mệnh đề này đúng. B. Hàm số không có đạo hàm tại \( x = 0 \): - Ta tính đạo hàm của hàm số \( y = |x| \): - Với \( x > 0 \), \( y = x \) và đạo hàm là \( y' = 1 \). - Với \( x < 0 \), \( y = -x \) và đạo hàm là \( y' = -1 \). - Tại \( x = 0 \), đạo hàm không tồn tại vì giới hạn từ trái và từ phải không bằng nhau (\( \lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = -1 \) và \( \lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = 1 \)). Do đó, mệnh đề này đúng. C. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (0, +\infty) \): - Trên khoảng \( (0, +\infty) \), hàm số \( y = x \) là hàm đồng biến. Do đó, mệnh đề này đúng. D. Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 0 \): - Như đã phân tích ở trên, tại điểm \( x = 0 \), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 0. Tuy nhiên, do hàm số không đổi dấu từ giảm sang tăng hoặc ngược lại tại điểm này, nên nó không được coi là cực trị theo định nghĩa của cực đại và cực tiểu. Do đó, mệnh đề này sai. Vậy, mệnh đề sai là: D. Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 0 \). Đáp án: D. Câu 13. Để hàm số $y=\frac{1}{3}x^{3}-(m+1)x^{2}+(m^{2}+m)x-2$ có cực đại và cực tiểu thì phương trình $y'=0$ phải có hai nghiệm phân biệt. Ta có: $y'=x^{2}-2(m+1)x+(m^{2}+m)$ Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt khi: $\Delta '=(m+1)^{2}-(m^{2}+m)=m+1>0$ Suy ra: $m>-1$ Vậy $m>-1$ thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu.