Giúp mình với! Bài 4. (3 điểm) Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, đường phân giác BE $(E\in AC).$ Trên cạnh BC lấy điểm H,sao cho $BH=BA,$ gọi giao điểm của BA và HE là K . Chứng minh rằng :,$1.~\Delta ABE=\Delta HBE.$,2. BE là đường trung trực của AH ,3. E là trực tâm của $\Delta BKC.$,4. So sánh AE và EC .

Question

Accepted Answer

Bài 4.
1. Ta có: $AB=HB$ (gt)
$BE$ là đường phân giác của góc $ABC$ (gt)
$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta HBE$ (cạnh huyền, góc nhọn kề)
2. Ta có: $\Delta ABE=\Delta HBE$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow AE=HE$ (2 cạnh tương ứng)
$\Rightarrow BE$ là đường trung trực của $AH$
3. Ta có: $BE$ là đường trung trực của $AH$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow BE\perp AH$ (dấu hiệu nhận biết đường trung trực)
Mà $BK\subset AH$ nên $BE\perp BK$
Ta có: $\Delta ABE=\Delta HBE$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{HEB}$ (2 góc tương ứng)
Mà $\widehat{AEB}+\widehat{HEB}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{HEB}=90^{\circ}$
$\Rightarrow CK\perp BE$
Từ đó suy ra $E$ là trực tâm của $\Delta BKC$
4. Ta có: $\Delta ABE=\Delta HBE$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{HBE}$ (2 góc tương ứng)
Mà $\widehat{ABE}=\widehat{CBE}$ (gt)
$\Rightarrow \widehat{HBE}=\widehat{CBE}$
$\Rightarrow EB$ là đường phân giác của $\widehat{HEC}$
$\Rightarrow EB\perp HC$ (dấu hiệu nhận biết đường phân giác trong tam giác vuông)
$\Rightarrow \widehat{CEB}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{AEB}+\widehat{CEB}=180^{\circ}$
$\Rightarrow AE=EC$ (2 cạnh kề 2 góc bằng nhau)