Giải hộ mình câu này với các bạnGiải hộ mình câu này với các bạn $A=\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x+1},~B=(\frac{x+3\sqrt x-2}{x-9}-\frac1{\sqrt x+3}).\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x+1}~với~x\geq0,~x
e9$,Câu 8. Cho hai biểu thức,1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1,Chứng minh:,$3.~Cho~P=A.B.$ Tìm tất cả các giá trị của x để P

Question

Accepted Answer

{"userId":5309872,"userName":"Hoang Anh"}

Câu 1:

Cho $A = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}$, $B = (\frac{x+3\sqrt{x}-2}{x-9} - \frac{1}{\sqrt{x}+3}) \cdot \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}$ với $x \ge 0, x e 9$.

1. Tính giá trị của $A$ khi $x=16$:

$A = \frac{\sqrt{16}-2}{\sqrt{16}+1} = \frac{4-2}{4+1} = \frac{2}{5}$

2. Rút gọn biểu thức $B$:

$\begin{align*} B &= (\frac{x+3\sqrt{x}-2}{x-9} - \frac{1}{\sqrt{x}+3}) \cdot \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1} \ &= (\frac{x+3\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} - \frac{\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}) \cdot \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1} \ &= \frac{x+3\sqrt{x}-2 - \sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \cdot \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1} \ &= \frac{x+2\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \cdot \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1} \ &= \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{\sqrt{x}+3} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}+1} \ &= \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}\end{align*}$

3. Cho $M=A \cdot B$. Tìm các số nguyên $x$ để $\sqrt{M} \le \frac{1}{3}$:

$M = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3} = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$

$\sqrt{M} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3} \le \frac{1}{9} \Leftrightarrow 9\sqrt{x}-18 \le \sqrt{x}+3 \Leftrightarrow 8\sqrt{x} \le 21 \Leftrightarrow \sqrt{x} \le \frac{21}{8} \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{441}{64} \approx 6,89$.

Vì $x$ là số nguyên nên $x \in \{0,1,2,3,4,5,6\}$.

Câu 8:

Cho $A=\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}$, $B=\frac{x+16}{x-4}-\frac{5}{\sqrt{x}-2}$ với $x \ge 0, x e 4, x e 9$.

1. Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x=1$:

$A=\frac{2\sqrt{1}-3}{\sqrt{1}+2}=\frac{2-3}{1+2}=\frac{-1}{3}$

2. Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}$:

$\begin{align*} B &= \frac{x+16}{x-4} - \frac{5}{\sqrt{x}-2} = \frac{x+16}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} - \frac{5(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} \ &= \frac{x+16-5\sqrt{x}-10}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{x-5\sqrt{x}+6}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2} \end{align*}$

3. Cho $P = A \cdot B$. Tìm tất cả giá trị của $x$ để $P \ge 1$:

$P = \frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2} \cdot \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2} = \frac{2x-9\sqrt{x}+9}{x+4\sqrt{x}+4}$

$P \ge 1 \Leftrightarrow \frac{2x-9\sqrt{x}+9}{x+4\sqrt{x}+4} \ge 1 \Leftrightarrow 2x-9\sqrt{x}+9 \ge x+4\sqrt{x}+4 \Leftrightarrow x-13\sqrt{x}+5 \ge 0$.

Đặt $t=\sqrt{x} (t \ge 0)$, ta có $t^2-13t+5 \ge 0$. Giải bất phương trình này, ta được $t \le \frac{13-\sqrt{149}}{2}$ hoặc $t \ge \frac{13+\sqrt{149}}{2}$.

Do $x e 4, x e 9$ nên $\sqrt{x} e 2, \sqrt{x} e 3$. Vậy $0 \le x \le (\frac{13-\sqrt{149}}{2})^2 \approx 0.196$ hoặc $x \ge (\frac{13+\sqrt{149}}{2})^2 \approx 144.8$.