vkskshsbksxhsb

Câu 4. Để tính tổng \( T = C^0_n + \frac{1}{2}C^1_n + \frac{1}{3}C^2_n + ... + \frac{1}{n+1}C^n_n \), ta sẽ sử dụng phương pháp nhân cả hai vế với \( n+1 \). Nhân cả hai vế với \( n+1 \): \[ (n+1)T = (n+1) \left( C^0_n + \frac{1}{2}C^1_n + \frac{1}{3}C^2_n + ... + \frac{1}{n+1}C^n_n \right) \] Phân phối \( n+1 \) vào mỗi hạng tử trong ngoặc: (n+1)T = (n+1)C^0_n + \frac{(n+1)}{2}C^1_n + \frac{(n+1)}{3}C^2_n + ... + \frac{(n+1)}{n+1}C^n_n Sử dụng công thức \( (n+1)C^k_n = (k+1)C^{k+1}_{n+1} \): (n+1)T = (n+1)C^0_n + \frac{(n+1)}{2}C^1_n + \frac{(n+1)}{3}C^2_n + ... + C^n_n (n+1)T = (n+1)C^0_n + (n+1) \cdot \frac{1}{2}C^1_n + (n+1) \cdot \frac{1}{3}C^2_n + ... + C^n_n Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 7. Để tính tổng các hệ số trong khai triển của $(1 - 2x)^5$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay $x = 1$ vào biểu thức $(1 - 2x)^5$ để tìm tổng các hệ số. Khi thay $x = 1$, ta có: \[ (1 - 2 \cdot 1)^5 = (1 - 2)^5 = (-1)^5 = -1 \] Bước 2: Kết luận Tổng các hệ số trong khai triển của $(1 - 2x)^5$ là $-1$. Đáp số: $-1$. Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của \( n \) Ta có: \[ C^1_n + C^2_n = 15 \] Biết rằng: \[ C^1_n = n \] \[ C^2_n = \frac{n(n-1)}{2} \] Thay vào phương trình: \[ n + \frac{n(n-1)}{2} = 15 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ 2n + n(n-1) = 30 \] \[ 2n + n^2 - n = 30 \] \[ n^2 + n - 30 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ n^2 + n - 30 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm 11}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ n = \frac{10}{2} = 5 \] \[ n = \frac{-12}{2} = -6 \] Vì \( n \) là số nguyên dương, nên: \[ n = 5 \] Bước 2: Tìm số hạng không chứa \( x \) trong khai triển \( (x + \frac{2}{x^4})^5 \) Sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C^n_k a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này: \[ a = x \] \[ b = \frac{2}{x^4} \] \[ n = 5 \] Một số hạng tổng quát trong khai triển là: \[ C^k_5 x^{5-k} \left( \frac{2}{x^4} \right)^k \] Đơn giản hóa số hạng này: \[ C^k_5 x^{5-k} \cdot \frac{2^k}{x^{4k}} = C^k_5 \cdot 2^k \cdot x^{5-k-4k} = C^k_5 \cdot 2^k \cdot x^{5-5k} \] Để số hạng này không chứa \( x \), ta cần: \[ 5 - 5k = 0 \] \[ k = 1 \] Vậy số hạng không chứa \( x \) là: \[ C^1_5 \cdot 2^1 \cdot x^{5-5 \cdot 1} = C^1_5 \cdot 2 \cdot x^0 = 5 \cdot 2 = 10 \] Kết luận Số hạng không chứa \( x \) trong khai triển \( (x + \frac{2}{x^4})^5 \) là: \[ \boxed{10} \] Câu 9. Ta có khai triển $(1+2x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$. Để tìm giá trị của số nguyên dương $n$, ta sẽ sử dụng hệ số nhị thức trong khai triển nhị thức Newton. Trước tiên, ta nhận thấy rằng: - $a_0$ là hệ số của $x^0$, tức là $(1+2x)^n$ khi $x=0$, do đó $a_0 = 1$. - $a_1$ là hệ số của $x^1$, tức là $\binom{n}{1} \cdot 2^1 = 2n$. - $a_2$ là hệ số của $x^2$, tức là $\binom{n}{2} \cdot 2^2 = 4 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 2n(n-1)$. Theo đề bài, ta có điều kiện: \[ a_0 + 8a_1 = 2a_2 + 1 \] Thay các giá trị đã tìm được vào: \[ 1 + 8(2n) = 2[2n(n-1)] + 1 \] \[ 1 + 16n = 4n(n-1) + 1 \] \[ 1 + 16n = 4n^2 - 4n + 1 \] \[ 16n = 4n^2 - 4n \] \[ 4n^2 - 20n = 0 \] \[ 4n(n - 5) = 0 \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ n = 0 \quad \text{hoặc} \quad n = 5 \] Vì $n$ là số nguyên dương, nên ta loại $n = 0$ và giữ lại $n = 5$. Vậy giá trị của số nguyên dương $n$ là: \[ \boxed{5} \] Câu 13. Ta có: $S=C^0_{10}+C^1_{10}+...+C^{10}_{10}$ Áp dụng công thức nhị thức Newton $(a+b)^n = C^0_n a^n + C^1_n a^{n-1}b + ... + C^n_n b^n$, ta chọn $a = 1$ và $b = 1$: $(1+1)^{10} = C^0_{10} \cdot 1^{10} + C^1_{10} \cdot 1^9 \cdot 1 + ... + C^{10}_{10} \cdot 1^{0}$ $2^{10} = C^0_{10} + C^1_{10} + ... + C^{10}_{10}$ Do đó: $S = 2^{10} = 1024$ Đáp số: $S = 1024$. Câu 14. Để tính tổng $S = C^1_6 + C^2_6 + ... + C^5_6$, ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton và tính chất của tổ hợp. Theo công thức nhị thức Newton, ta có: \[ (1 + 1)^6 = C^0_6 + C^1_6 + C^2_6 + C^3_6 + C^4_6 + C^5_6 + C^6_6 \] Biến đổi vế trái: \[ 2^6 = C^0_6 + C^1_6 + C^2_6 + C^3_6 + C^4_6 + C^5_6 + C^6_6 \] Biết rằng $C^0_6 = 1$ và $C^6_6 = 1$, ta có thể viết lại: \[ 64 = 1 + C^1_6 + C^2_6 + C^3_6 + C^4_6 + C^5_6 + 1 \] Bây giờ, ta trừ đi hai giá trị $C^0_6$ và $C^6_6$ từ cả hai vế: \[ 64 - 2 = C^1_6 + C^2_6 + C^3_6 + C^4_6 + C^5_6 \] \[ 62 = C^1_6 + C^2_6 + C^3_6 + C^4_6 + C^5_6 \] Vậy tổng $S = C^1_6 + C^2_6 + ... + C^5_6$ là: \[ S = 62 \] Đáp số: $S = 62$. Câu 15. Ta nhận thấy rằng tổng $S$ có dạng tổng của các hệ số nhị thức nhân với lũy thừa của 2. Ta có thể sử dụng công thức nhị thức Newton để giải quyết bài toán này. Theo công thức nhị thức Newton: \[ (a + b)^n = C^n_0 a^n b^0 + C^n_1 a^{n-1} b^1 + C^n_2 a^{n-2} b^2 + ... + C^n_n a^0 b^n \] Trong bài toán này, ta có $a = 1$, $b = 2$, và $n = 6$. Do đó, ta có: \[ (1 + 2)^6 = C^6_0 1^6 2^0 + C^6_1 1^5 2^1 + C^6_2 1^4 2^2 + ... + C^6_6 1^0 2^6 \] Điều này tương đương với: \[ 3^6 = C^6_0 + 2 C^6_1 + 2^2 C^6_2 + ... + 2^6 C^6_6 \] Vậy tổng $S$ là: \[ S = 3^6 \] Ta tính $3^6$: \[ 3^6 = 729 \] Do đó, tổng $S$ là: \[ S = 729 \] Đáp số: $S = 729$