Giúp mình với!

Câu 25. Để giải phương trình $5^{2x^2 - x} = 5$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình đã cho là $5^{2x^2 - x} = 5$. Ta thấy rằng phương trình này luôn có nghĩa với mọi giá trị của $x$, vì $5^{2x^2 - x}$ luôn xác định. 2. Phân tích phương trình: Ta nhận thấy rằng $5^{2x^2 - x} = 5^1$. Do đó, ta có thể so sánh các mũ của cùng cơ số: \[ 2x^2 - x = 1 \] 3. Giải phương trình bậc hai: Ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai: \[ 2x^2 - x - 1 = 0 \] Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình này: \[ 2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1) = 0 \] Từ đây, ta có hai phương trình đơn giản: \[ 2x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 1 = 0 \] Giải các phương trình này: \[ 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2} \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] 4. Kiểm tra điều kiện: Các giá trị $x = -\frac{1}{2}$ và $x = 1$ đều thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình ban đầu. 5. Tập nghiệm: Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[ S = \left\{-\frac{1}{2}, 1\right\} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~S=\left\{1;-\frac{1}{2}\right\} \] Câu 2. Để giải phương trình $3^{x^2-5x+3} = 81$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng cơ số giống nhau: \[ 3^{x^2-5x+3} = 3^4 \] Bước 2: Vì hai lũy thừa có cùng cơ số, ta có thể so sánh các mũ: \[ x^2 - 5x + 3 = 4 \] Bước 3: Chuyển vế để tạo thành phương trình bậc hai: \[ x^2 - 5x + 3 - 4 = 0 \] \[ x^2 - 5x - 1 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -1 \): \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4}}{2} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2} \] Bước 5: Tìm các nghiệm của phương trình: \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{29}}{2} \] \[ x_2 = \frac{5 - \sqrt{29}}{2} \] Bước 6: Tính tích của các nghiệm: \[ x_1 \cdot x_2 = \left( \frac{5 + \sqrt{29}}{2} \right) \cdot \left( \frac{5 - \sqrt{29}}{2} \right) \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{(5 + \sqrt{29})(5 - \sqrt{29})}{4} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{25 - (\sqrt{29})^2}{4} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{25 - 29}{4} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{4} \] \[ x_1 \cdot x_2 = -1 \] Vậy tích tất cả các nghiệm của phương trình là \(-1\). Đáp án đúng là: A. -1. Câu 26. Phương trình $2025^x = 3$ có nghiệm là: Để giải phương trình này, ta cần tìm giá trị của $x$ sao cho $2025^x = 3$. Điều này có nghĩa là $x$ là số mũ mà khi ta nâng cơ số 2025 lên sẽ bằng 3. Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng: \[ x = \log_{2025} 3 \] Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ x = \log_{2025} 3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~x = \log_{2025} 3 \] Câu 1. Để giải bất phương trình $5.2^x > 15$, ta thực hiện các bước sau: 1. Chia cả hai vế của bất phương trình cho 5: \[ 2^x > \frac{15}{5} \] \[ 2^x > 3 \] 2. Lấy logarit cơ số 2 của cả hai vế: \[ \log_2(2^x) > \log_2(3) \] 3. Áp dụng tính chất logarit $\log_a(a^b) = b$: \[ x > \log_2(3) \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(\log_2(3); +\infty)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~(\log_23;+\infty) \] Câu 27. Xét hàm số $f(x)=(\frac32)^x$ trên $\mathbb{R}$. Ta thấy rằng: - Hàm số $f(x)$ là hàm số mũ với cơ số $a = \frac{3}{2} > 1$, do đó hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Bất phương trình $(\frac32)^x < (\frac32)^5$ có thể được giải bằng cách so sánh các giá trị của hàm số mũ: - Vì hàm số $f(x)$ đồng biến, nên $(\frac32)^x < (\frac32)^5$ suy ra $x < 5$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-\infty; 5)$. Đáp án đúng là: C. $S = (-\infty; 5)$. Câu 12. Để giải bất phương trình $5^{x+1} - \frac{1}{5} > 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Di chuyển $\frac{1}{5}$ sang vế trái: \[ 5^{x+1} > \frac{1}{5} \] 2. Viết $\frac{1}{5}$ dưới dạng lũy thừa cơ sở 5: \[ 5^{x+1} > 5^{-1} \] 3. So sánh hai lũy thừa cùng cơ sở: Do cơ sở là 5 (số dương lớn hơn 1), nên ta có: \[ x + 1 > -1 \] 4. Giải bất phương trình tuyến tính: \[ x > -1 - 1 \] \[ x > -2 \] Tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (-2; +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~(-2; +\infty) \] Câu 28. Để giải phương trình $\log_3(x^2 + x + 1) = \log_3(2x^2 - 1)$, ta cần tìm các giá trị của $x$ sao cho hai biểu thức trong dấu logarit bằng nhau. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_3(x^2 + x + 1)$, ta có $x^2 + x + 1 > 0$. Vì $x^2 + x + 1$ luôn dương với mọi $x$, nên điều kiện này luôn thoả mãn. - Đối với $\log_3(2x^2 - 1)$, ta có $2x^2 - 1 > 0$. Điều này tương đương với $x^2 > \frac{1}{2}$, tức là $x < -\frac{1}{\sqrt{2}}$ hoặc $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$. Bước 2: Giải phương trình: \[ \log_3(x^2 + x + 1) = \log_3(2x^2 - 1) \] Suy ra: \[ x^2 + x + 1 = 2x^2 - 1 \] Rearrange the equation: \[ x^2 + x + 1 - 2x^2 + 1 = 0 \] \[ -x^2 + x + 2 = 0 \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định: - Với $x_1 = 2$: $2 > \frac{1}{\sqrt{2}}$, thoả mãn ĐKXĐ. - Với $x_2 = -1$: $-1 < -\frac{1}{\sqrt{2}}$, thoả mãn ĐKXĐ. Bước 5: Tính $P = x_1^2 + 2x_2$: \[ P = 2^2 + 2(-1) = 4 - 2 = 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~P = 2} \] Câu 29. Để giải phương trình $\log_{\sqrt{2}}x = \log_2(x + 2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_{\sqrt{2}}x$, ta có $x > 0$. - Đối với $\log_2(x + 2)$, ta có $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$. Kết hợp hai điều kiện trên, ta có ĐKXĐ chung là $x > 0$. 2. Chuyển đổi cơ số của các biểu thức logarit: Ta biết rằng $\log_{\sqrt{2}}x = \frac{\log_2 x}{\log_2 \sqrt{2}}$. Vì $\log_2 \sqrt{2} = \log_2 (2^{1/2}) = \frac{1}{2}$, nên: \[ \log_{\sqrt{2}}x = \frac{\log_2 x}{\frac{1}{2}} = 2 \log_2 x \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 2 \log_2 x = \log_2 (x + 2) \] 3. Giải phương trình logarit: Chia cả hai vế cho 2, ta có: \[ \log_2 x = \frac{1}{2} \log_2 (x + 2) \] Điều này tương đương với: \[ \log_2 x = \log_2 (x + 2)^{1/2} \] Vì hai biểu thức logarit có cùng cơ số, ta có thể loại bỏ"log" từ cả hai vế: \[ x = (x + 2)^{1/2} \] 平方两边，得到： \[ x^2 = x + 2 \] 整理成标准形式： \[ x^2 - x - 2 = 0 \] 这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解它。二次方程的求根公式是： \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] 在这里，\(a = 1\)，\(b = -1\)，\(c = -2\)。代入这些值，我们得到： \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] 因此，解为： \[ x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \quad \text{或} \quad x = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] 4. 验证解是否满足初始条件： - 对于 \(x = 2\)，显然满足 \(x > 0\)。 - 对于 \(x = -1\)，不满足 \(x > 0\)。 因此，只有 \(x = 2\) 是方程的解。 最终答案是：D. 1。 Câu 4: Để giải bất phương trình $\log_{0,5}(2x-1) \geq 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện để $\log_{0,5}(2x-1)$ có nghĩa là: \[ 2x - 1 > 0 \] \[ x > \frac{1}{2} \] Bước 2: Giải bất phương trình Ta có: \[ \log_{0,5}(2x-1) \geq 0 \] Biểu thức $\log_{0,5}(2x-1) \geq 0$ tương đương với: \[ 2x - 1 \leq 1 \quad (\text{vì } \log_{0,5}(y) \geq 0 \text{ khi } y \leq 1) \] Giải bất phương trình này: \[ 2x - 1 \leq 1 \] \[ 2x \leq 2 \] \[ x \leq 1 \] Bước 3: Kết hợp điều kiện xác định và kết quả bất phương trình Từ điều kiện xác định $x > \frac{1}{2}$ và kết quả bất phương trình $x \leq 1$, ta có: \[ \frac{1}{2} < x \leq 1 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ \left( \frac{1}{2}, 1 \right] \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~\left( \frac{1}{2}, 1 \right] \] Câu 30. Để giải bất phương trình $\log_2(x^2-2x+3)-1>0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình này, ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong logarit dương: \[ x^2 - 2x + 3 > 0 \] - Ta xét dấu của tam thức bậc hai $x^2 - 2x + 3$. Ta tính $\Delta$: \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0 \] - Vì $\Delta < 0$, tam thức $x^2 - 2x + 3$ luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, ĐKXĐ là $x \in \mathbb{R}$. 2. Giải bất phương trình: - Ta viết lại bất phương trình: \[ \log_2(x^2-2x+3) - 1 > 0 \] - Chuyển 1 sang vế trái: \[ \log_2(x^2-2x+3) > 1 \] - Ta biết rằng $\log_2(2) = 1$, do đó: \[ \log_2(x^2-2x+3) > \log_2(2) \] - Vì hàm logarit cơ sở 2 là hàm đồng biến, nên ta có: \[ x^2 - 2x + 3 > 2 \] - Giải bất phương trình này: \[ x^2 - 2x + 3 - 2 > 0 \implies x^2 - 2x + 1 > 0 \implies (x-1)^2 > 0 \] - Bất phương trình $(x-1)^2 > 0$ đúng với mọi $x \neq 1$. 3. Kết luận: - Tập nghiệm của bất phương trình là $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\mathbb R\setminus\{1\}. \] Câu 21. Để giải bất phương trình $\ln x^2 > \ln(4x - 4)$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\ln x^2$, ta có $x^2 > 0$. Điều này luôn đúng với mọi $x \neq 0$. - Đối với $\ln(4x - 4)$, ta có $4x - 4 > 0 \Rightarrow x > 1$. Vậy ĐKXĐ của bất phương trình là $x > 1$ và $x \neq 0$. Kết hợp lại, ta có $x > 1$. 2. Giải bất phương trình: - Vì $\ln x^2 > \ln(4x - 4)$ và hàm số $\ln$ là hàm số đồng biến trên $(0, +\infty)$, nên ta có: \[ x^2 > 4x - 4 \] - Chuyển tất cả về một vế: \[ x^2 - 4x + 4 > 0 \] - Ta nhận thấy rằng $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Do đó: \[ (x - 2)^2 > 0 \] - Bất phương trình $(x - 2)^2 > 0$ đúng với mọi $x \neq 2$. 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 1$ và $x \neq 2$, ta có tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = (1, +\infty) \setminus \{2\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~S = (1, +\infty) \setminus \{2\} \] Câu 31. Để giải bất phương trình $\log_{\frac12}(x+1)< \log_{\frac12}(2x-1)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Để các biểu thức logarit có nghĩa, ta cần: \[ x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad 2x - 1 > 0 \] Từ đó suy ra: \[ x > -1 \quad \text{và} \quad x > \frac{1}{2} \] Vậy điều kiện xác định là: \[ x > \frac{1}{2} \] Bước 2: So sánh các biểu thức logarit Ta có: \[ \log_{\frac12}(x+1) < \log_{\frac12}(2x-1) \] Vì cơ số của logarit là $\frac{1}{2}$ (nhỏ hơn 1), nên khi so sánh hai biểu thức logarit, ta sẽ đảo ngược dấu so sánh của các biểu thức bên trong: \[ x + 1 > 2x - 1 \] Bước 3: Giải bất phương trình Giải bất phương trình: \[ x + 1 > 2x - 1 \] \[ 1 + 1 > 2x - x \] \[ 2 > x \] \[ x < 2 \] Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định Từ điều kiện xác định $x > \frac{1}{2}$ và kết quả từ bất phương trình $x < 2$, ta có: \[ \frac{1}{2} < x < 2 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = \left( \frac{1}{2}, 2 \right) \] Đáp án đúng là: \[ C.~S=\left(\frac{1}{2};2\right) \]