giải hộ em Câu 4: Trong khối pha lê hình lập phương ABCD.A'B'C'D',cạnh 8 cm có mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' một khoảng 1 cm.,Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B thuộc tia Ox, đỉnh D thuộc,tia Oy, đỉnh A' thuộc tia Oz. Khi đó, phương trình của mặt cầu bên trong khối pha lê hình lập,phương là $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0.$ Tìm giá trị của $a+b+c+d.2($

Question

giải hộ em Câu 4: Trong khối pha lê hình lập phương ABCD.A&#x27;B&#x27;C&#x27;D&#x27;,cạnh 8 cm có mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương ABCD.A&#x27;B&#x27;C&#x27;D&#x27; một khoảng 1 cm.,Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B thuộc tia Ox, đỉnh D thuộc,tia Oy, đỉnh A&#x27; thuộc tia Oz. Khi đó, phương trình của mặt cầu bên trong khối pha lê hình lập,phương là $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0.$ Tìm giá trị của $a+b+c+d.2($

Thiên Hạo (天昊) · Accepted Answer

{"userId":5407655,"userName":"hoàn lường"}

Gọi cạnh của hình lập phương là $a$. Theo đề bài, $a=8$ cm.

Mặt cầu nội tiếp hình lập phương có tâm trùng với tâm hình lập phương và bán kính bằng nửa cạnh hình lập phương.

Do đó, tâm mặt cầu là $I(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}) = (4, 4, 4)$ và bán kính $R = \frac{a}{2} = 4$.

Phương trình mặt cầu là $(x-4)^2 + (y-4)^2 + (z-4)^2 = 4^2 = 16$.

Khai triển ra ta được:

$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 8z + 16 = 16$

$x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z + 32 = 0$

So sánh với phương trình mặt cầu đã cho là $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$, ta có:

$2a = -8 \Rightarrow a = -4$

$2b = -8 \Rightarrow b = -4$

$2c = -8 \Rightarrow c = -4$

$d = 32$

Vậy $a + b + c + d = -4 - 4 - 4 + 32 = 20$.

Tuy nhiên, đề bài cho mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương một khoảng 1 cm. Khi đó, bán kính mặt cầu là $R' = R - 1 = 4 - 1 = 3$.

Tâm mặt cầu vẫn là $I(4, 4, 4)$.

Phương trình mặt cầu là $(x-4)^2 + (y-4)^2 + (z-4)^2 = 3^2 = 9$.

Khai triển ra ta được:

$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 8z + 16 = 9$

$x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z + 48 - 9 = 0$

$x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z + 39 = 0$

So sánh với phương trình mặt cầu đã cho là $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$, ta có:

$2a = -8 \Rightarrow a = -4$

$2b = -8 \Rightarrow b = -4$

$2c = -8 \Rightarrow c = -4$

$d = 39$

Vậy $a+b+c+d = -4 + (-4) + (-4) + 39 = 27$.

Final Answer: The final answer is $\boxed{27}$

Timi · Answer

Câu 4:
Để tìm phương trình của mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương ABCD.A&#x27;B&#x27;C&#x27;D&#x27; một khoảng 1 cm, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
   - Tâm của mặt cầu nằm ở trung điểm của hình lập phương ABCD.A&#x27;B&#x27;C&#x27;D&#x27;.
   - Vì hình lập phương có cạnh 8 cm, tâm của nó sẽ là $(4, 4, 4)$.
   - Mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương một khoảng 1 cm, nên bán kính của mặt cầu là $\frac{8}{2} - 1 = 3$ cm.

2. Viết phương trình mặt cầu:
   - Phương trình tổng quát của mặt cầu là $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$.
   - Ta biết tâm của mặt cầu là $(4, 4, 4)$ và bán kính là 3 cm.
   - Do đó, phương trình mặt cầu có dạng $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 3^2$.
   - Mở rộng phương trình này:
     $$
     (x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 9
     $$
     $$
     x^2 - 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 8z + 16 = 9
     $$
     $$
     x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z + 48 = 9
     $$
     $$
     x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z + 39 = 0
     $$

3. So sánh với phương trình tổng quát:
   - So sánh phương trình trên với phương trình tổng quát $x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$, ta có:
     $$
     2a = -8 \implies a = -4
     $$
     $$
     2b = -8 \implies b = -4
     $$
     $$
     2c = -8 \implies c = -4
     $$
     $$
     d = 39
     $$

4. Tính giá trị của $a + b + c + d$:
   $$
   a + b + c + d = -4 + (-4) + (-4) + 39 = 27
   $$

Vậy giá trị của $a + b + c + d$ là $\boxed{27}$.