Giải giùm với cacban

Câu 5. Để tính đạo hàm của hàm số $y = \log_2(2x + 1)$, ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit cơ số a và chuỗi đạo hàm. Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit cơ số a là: \[ y = \log_a(u) \implies y' = \frac{u'}{u \ln a} \] Trong đó, $u = 2x + 1$ và $a = 2$. Ta có: \[ u' = 2 \] Áp dụng công thức trên, ta có: \[ y' = \frac{u'}{u \ln 2} = \frac{2}{(2x + 1) \ln 2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~y' = \frac{2}{(2x + 1) \ln 2} \] Câu 6. Để tính $f'(2)$ của hàm số $f(x) = (3x - 7)^5$, ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa và chuỗi. Bước 1: Xác định hàm số và ẩn số. $f(x) = (3x - 7)^5$ Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa. Nếu $g(x) = u^n$, thì $g'(x) = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ Trong trường hợp này, $u = 3x - 7$ và $n = 5$. Do đó: $f'(x) = 5 \cdot (3x - 7)^{5-1} \cdot (3x - 7)'$ $f'(x) = 5 \cdot (3x - 7)^4 \cdot 3$ $f'(x) = 15 \cdot (3x - 7)^4$ Bước 3: Thay $x = 2$ vào biểu thức đạo hàm. $f'(2) = 15 \cdot (3 \cdot 2 - 7)^4$ $f'(2) = 15 \cdot (6 - 7)^4$ $f'(2) = 15 \cdot (-1)^4$ $f'(2) = 15 \cdot 1$ $f'(2) = 15$ Như vậy, đáp án đúng là: D. $f'(2) = 15$ Đáp số: D. $f'(2) = 15$ Câu 1. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất và phương pháp đã học trong chương trình lớp 11. Mệnh đề a) $y'(0) = 7$ Trước tiên, ta cần tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{x - 3}{2x + 1}$. Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Ở đây, $u = x - 3$ và $v = 2x + 1$. Ta có: \[ u' = 1 \] \[ v' = 2 \] Do đó: \[ y' = \frac{(1)(2x + 1) - (x - 3)(2)}{(2x + 1)^2} = \frac{2x + 1 - 2x + 6}{(2x + 1)^2} = \frac{7}{(2x + 1)^2} \] Bây giờ, ta thay $x = 0$ vào đạo hàm: \[ y'(0) = \frac{7}{(2 \cdot 0 + 1)^2} = \frac{7}{1^2} = 7 \] Vậy mệnh đề a) là Đúng. Mệnh đề b) $A(1; \frac{7}{3})$ Đồ thị của hàm số $y'$ đi qua điểm Ta đã tìm được đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{7}{(2x + 1)^2} \] Thay $x = 1$ vào đạo hàm: \[ y'(1) = \frac{7}{(2 \cdot 1 + 1)^2} = \frac{7}{3^2} = \frac{7}{9} \] Như vậy, điểm $A(1; \frac{7}{3})$ không nằm trên đồ thị của hàm số $y'$. Do đó, mệnh đề b) là Sai. Mệnh đề c) $y'(1) < y'(2)$ Ta đã biết: \[ y' = \frac{7}{(2x + 1)^2} \] Tính giá trị của đạo hàm tại $x = 1$ và $x = 2$: \[ y'(1) = \frac{7}{(2 \cdot 1 + 1)^2} = \frac{7}{9} \] \[ y'(2) = \frac{7}{(2 \cdot 2 + 1)^2} = \frac{7}{25} \] So sánh hai giá trị này: \[ \frac{7}{9} > \frac{7}{25} \] Vậy $y'(1) > y'(2)$, do đó mệnh đề c) là Sai. Mệnh đề d) $y = \frac{x - 3}{2x + 1}$ Điểm M thuộc đồ thị $(C)$ của hàm số có hoành độ $x_0 = 0$ Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng $y = 7x + 2024$ Ta đã biết đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{7}{(2x + 1)^2} \] Tại điểm $M$ có hoành độ $x_0 = 0$, ta có: \[ y'(0) = 7 \] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x_0 = 0$ là: \[ y - y_0 = y'(0)(x - x_0) \] Tìm tung độ của điểm $M$: \[ y_0 = \frac{0 - 3}{2 \cdot 0 + 1} = -3 \] Phương trình tiếp tuyến là: \[ y + 3 = 7(x - 0) \] \[ y = 7x - 3 \] Đường thẳng $y = 7x - 3$ có cùng hệ số góc với đường thẳng $y = 7x + 2024$, do đó chúng song song với nhau. Vậy mệnh đề d) là Đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Sai - Mệnh đề c) Sai - Mệnh đề d) Đúng Câu 2. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{x^2}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2}{3} \right)' + \left( \frac{x^2}{2} \right)' - (2x)' \] \[ f'(x) = \frac{2x}{3} + \frac{2x}{2} - 2 \] \[ f'(x) = \frac{2x}{3} + x - 2 \] \[ f'(x) = \frac{2x + 3x}{3} - 2 \] \[ f'(x) = \frac{5x}{3} - 2 \] Bây giờ, ta kiểm tra từng mệnh đề: a) \( f'(x) = x^2 + x - 2 \) Ta đã tính được \( f'(x) = \frac{5x}{3} - 2 \). Do đó, mệnh đề này là sai. b) \( f'(x) = 0 \) có 1 nghiệm \[ \frac{5x}{3} - 2 = 0 \] \[ \frac{5x}{3} = 2 \] \[ 5x = 6 \] \[ x = \frac{6}{5} \] Phương trình này có duy nhất một nghiệm \( x = \frac{6}{5} \). Do đó, mệnh đề này là đúng. c) \( f'(x) = -2 \) có 2 nghiệm \[ \frac{5x}{3} - 2 = -2 \] \[ \frac{5x}{3} = 0 \] \[ 5x = 0 \] \[ x = 0 \] Phương trình này có duy nhất một nghiệm \( x = 0 \). Do đó, mệnh đề này là sai. d) \( f'(x) = 10 \) có 1 nghiệm \[ \frac{5x}{3} - 2 = 10 \] \[ \frac{5x}{3} = 12 \] \[ 5x = 36 \] \[ x = \frac{36}{5} \] Phương trình này có duy nhất một nghiệm \( x = \frac{36}{5} \). Do đó, mệnh đề này là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 1: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \( y = 9x + 10 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \). \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x \] Bước 2: Xác định điều kiện để tiếp tuyến song song với đường thẳng \( y = 9x + 10 \). Điều này có nghĩa là đạo hàm của hàm số tại điểm tiếp xúc phải bằng hệ số góc của đường thẳng đó. \[ y' = 9 \] Do đó, ta có phương trình: \[ 3x^2 - 6x = 9 \] Bước 3: Giải phương trình \( 3x^2 - 6x = 9 \). \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Phương trình này có thể được giải bằng phương pháp phân tích thành nhân tử: \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] Vậy ta có hai nghiệm: \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 4: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc trên đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \) tại các giá trị \( x = 3 \) và \( x = -1 \). - Khi \( x = 3 \): \[ y = 3^3 - 3(3)^2 + 1 = 27 - 27 + 1 = 1 \] Điểm tiếp xúc là \( (3, 1) \). - Khi \( x = -1 \): \[ y = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 1 = -1 - 3 + 1 = -3 \] Điểm tiếp xúc là \( (-1, -3) \). Bước 5: Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm tiếp xúc. - Tại điểm \( (3, 1) \): Phương trình tiếp tuyến có dạng \( y = 9x + b \). Thay tọa độ điểm \( (3, 1) \) vào phương trình này: \[ 1 = 9(3) + b \] \[ 1 = 27 + b \] \[ b = 1 - 27 = -26 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là: \[ y = 9x - 26 \] - Tại điểm \( (-1, -3) \): Phương trình tiếp tuyến có dạng \( y = 9x + b \). Thay tọa độ điểm \( (-1, -3) \) vào phương trình này: \[ -3 = 9(-1) + b \] \[ -3 = -9 + b \] \[ b = -3 + 9 = 6 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là: \[ y = 9x + 6 \] Kết luận: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \) song song với đường thẳng \( y = 9x + 10 \) là: \[ y = 9x - 26 \quad \text{hoặc} \quad y = 9x + 6 \] Câu 2: Phương trình chuyển động của con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang là: \[ x = 4 \cos \left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right) + 4 \] Để tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0, ta cần tính đạo hàm của phương trình chuyển động để tìm phương trình vận tốc tức thời \( v(t) \). Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của \( x \) theo thời gian \( t \): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} \] Tính đạo hàm của \( x \): \[ x = 4 \cos \left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right) + 4 \] \[ \frac{dx}{dt} = 4 \cdot (-\sin \left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right)) \cdot \pi \] \[ v(t) = -4\pi \sin \left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right) \] Để vận tốc tức thời bằng 0, ta có: \[ -4\pi \sin \left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right) = 0 \] \[ \sin \left( \pi t - \frac{2\pi}{3} \right) = 0 \] Ta biết rằng \(\sin(\theta) = 0\) khi \(\theta = k\pi\) với \(k\) là số nguyên. Do đó: \[ \pi t - \frac{2\pi}{3} = k\pi \] \[ \pi t = k\pi + \frac{2\pi}{3} \] \[ t = k + \frac{2}{3} \] Vậy thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 là: \[ t = k + \frac{2}{3} \text{ (giây)} \] với \(k\) là số nguyên. Đáp số: \( t = k + \frac{2}{3} \text{ (giây)} \) Câu 3: Để tìm vận tốc của chất điểm tại thời điểm mà gia tốc chuyển động nhỏ nhất, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm gia tốc của chất điểm: Gia tốc \(a(t)\) là đạo hàm của vận tốc \(v(t)\), và vận tốc \(v(t)\) là đạo hàm của quãng đường \(s(t)\). \[ v(t) = \frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{4} t^4 - t^3 + \frac{5}{2} t^2 + 10t \right) \] \[ v(t) = t^3 - 3t^2 + 5t + 10 \] Tiếp theo, ta tìm gia tốc \(a(t)\): \[ a(t) = \frac{d}{dt} v(t) = \frac{d}{dt} \left( t^3 - 3t^2 + 5t + 10 \right) \] \[ a(t) = 3t^2 - 6t + 5 \] 2. Tìm thời điểm mà gia tốc nhỏ nhất: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(a(t)\), ta cần tìm đạo hàm của \(a(t)\) và đặt nó bằng 0 để tìm điểm cực tiểu. \[ \frac{d}{dt} a(t) = \frac{d}{dt} (3t^2 - 6t + 5) = 6t - 6 \] Đặt đạo hàm này bằng 0: \[ 6t - 6 = 0 \implies t = 1 \] Ta kiểm tra xem \(t = 1\) có phải là điểm cực tiểu bằng cách kiểm tra đạo hàm thứ hai của \(a(t)\): \[ \frac{d^2}{dt^2} a(t) = \frac{d}{dt} (6t - 6) = 6 \] Vì đạo hàm thứ hai dương (\(6 > 0\)), nên \(t = 1\) là điểm cực tiểu của \(a(t)\). 3. Tìm vận tốc tại thời điểm \(t = 1\): Thay \(t = 1\) vào phương trình vận tốc \(v(t)\): \[ v(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 + 10 = 1 - 3 + 5 + 10 = 13 \] Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm mà gia tốc chuyển động nhỏ nhất là 13 m/s.