💖💖💖💖💖💖💖💖🥺💖

Câu 1. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = 5\sin x - 3\cos x$ tại điểm $x_0 = \frac{\pi}{2}$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ y = 5\sin x - 3\cos x \] Đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$, và đạo hàm của $\cos x$ là $-\sin x$. Do đó: \[ y' = 5\cos x + 3\sin x \] 2. Thay giá trị $x_0 = \frac{\pi}{2}$ vào đạo hàm: Thay $x = \frac{\pi}{2}$ vào biểu thức đạo hàm: \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \] Biết rằng $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ và $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, ta có: \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3 \] Vậy đạo hàm của hàm số $y = 5\sin x - 3\cos x$ tại điểm $x_0 = \frac{\pi}{2}$ là $3$. Đáp án đúng là: $A.~y^\prime\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3$. Câu 2. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ tại điểm có tung độ bằng -2, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm trên đồ thị có tung độ bằng -2. Ta có: \[ y = -2 \] Thay vào phương trình hàm số: \[ -2 = \frac{x + 1}{x - 2} \] Giải phương trình này: \[ -2(x - 2) = x + 1 \] \[ -2x + 4 = x + 1 \] \[ -2x - x = 1 - 4 \] \[ -3x = -3 \] \[ x = 1 \] Vậy điểm có tọa độ $(1, -2)$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. Hàm số đã cho là $y = \frac{x + 1}{x - 2}$. Tính đạo hàm: \[ y' = \left( \frac{x + 1}{x - 2} \right)' = \frac{(x - 2)'(x + 1) - (x + 1)'(x - 2)}{(x - 2)^2} = \frac{1 \cdot (x + 1) - 1 \cdot (x - 2)}{(x - 2)^2} = \frac{x + 1 - x + 2}{(x - 2)^2} = \frac{3}{(x - 2)^2} \] Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $(1, -2)$. \[ y'(1) = \frac{3}{(1 - 2)^2} = \frac{3}{(-1)^2} = 3 \] Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Áp dụng vào bài toán: \[ y - (-2) = 3(x - 1) \] \[ y + 2 = 3x - 3 \] \[ y = 3x - 5 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ tại điểm có tung độ bằng -2 là: \[ y = 3x - 5 \] Đáp án đúng là: C. $y = 3x - 5$. Câu 3. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = x^4 - 4x^2 - 3$, ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa. Bước 1: Tìm đạo hàm của mỗi thành phần trong tổng: - Đạo hàm của $x^4$ là $4x^3$. - Đạo hàm của $-4x^2$ là $-8x$. - Đạo hàm của hằng số $-3$ là $0$. Bước 2: Kết hợp các đạo hàm lại theo quy tắc đạo hàm của tổng: \[ y' = (x^4)' + (-4x^2)' + (-3)' \] \[ y' = 4x^3 - 8x + 0 \] \[ y' = 4x^3 - 8x \] Vậy đáp án đúng là: C. $y' = 4x^3 - 8x$. Câu 4. Để tính đạo hàm của hàm số \( y = 13^x \), ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ \( a^x \): \[ \left( a^x \right)' = a^x \cdot \ln(a) \] Trong đó, \( a = 13 \). Do đó, đạo hàm của \( y = 13^x \) là: \[ y' = 13^x \cdot \ln(13) \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~y' = 13^x \cdot \ln(13) \] Câu 5. Để tính đạo hàm của hàm số $y = \log_2(2x + 1)$, ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit cơ số a và chuỗi đạo hàm. Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit cơ số a là: \[ y = \log_a(u) \implies y' = \frac{u'}{u \ln a} \] Trong đó, $u = 2x + 1$ và $a = 2$. Ta có: \[ u' = 2 \] Áp dụng công thức trên, ta có: \[ y' = \frac{u'}{u \ln 2} = \frac{2}{(2x + 1) \ln 2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~y' = \frac{2}{(2x + 1) \ln 2} \] Câu 6. Để tính đạo hàm của hàm số \( f(x) = (3x - 7)^0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( f(x) = (3x - 7)^0 \) có nghĩa là \( 3x - 7 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq \frac{7}{3} \). 2. Tính đạo hàm: Ta biết rằng mọi số khác 0 lũy thừa 0 đều bằng 1. Do đó, \( f(x) = 1 \) khi \( x \neq \frac{7}{3} \). Đạo hàm của hằng số 1 là 0. Vậy: \[ f'(x) = 0 \] 3. Tính giá trị đạo hàm tại điểm \( x = 2 \): Vì \( f'(x) = 0 \) cho mọi \( x \neq \frac{7}{3} \), nên: \[ f'(2) = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~f^\prime(2)=0. \] Câu 1. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất và phương pháp đã học trong chương trình lớp 11. Mệnh đề a) $y'(0) = 7$ Trước tiên, ta cần tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{x - 3}{2x + 1}$. Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Ở đây, $u = x - 3$ và $v = 2x + 1$. Ta có: \[ u' = 1 \] \[ v' = 2 \] Do đó: \[ y' = \frac{(1)(2x + 1) - (x - 3)(2)}{(2x + 1)^2} = \frac{2x + 1 - 2x + 6}{(2x + 1)^2} = \frac{7}{(2x + 1)^2} \] Bây giờ, ta thay $x = 0$ vào đạo hàm: \[ y'(0) = \frac{7}{(2 \cdot 0 + 1)^2} = \frac{7}{1^2} = 7 \] Vậy mệnh đề a) là Đúng. Mệnh đề b) $A(1; \frac{7}{3})$ Đồ thị của hàm số $y$ đi qua điểm Ta thay $x = 1$ vào hàm số để kiểm tra: \[ y = \frac{1 - 3}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3} \] Như vậy, điểm $A(1; \frac{7}{3})$ không nằm trên đồ thị của hàm số $y$. Mệnh đề b) là Sai. Mệnh đề c) $y'(1) < y'(2)$ Ta đã tìm được đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{7}{(2x + 1)^2} \] Bây giờ, ta thay $x = 1$ và $x = 2$ vào đạo hàm: \[ y'(1) = \frac{7}{(2 \cdot 1 + 1)^2} = \frac{7}{9} \] \[ y'(2) = \frac{7}{(2 \cdot 2 + 1)^2} = \frac{7}{25} \] So sánh hai giá trị này: \[ \frac{7}{9} > \frac{7}{25} \] Vậy $y'(1) > y'(2)$. Mệnh đề c) là Sai. Mệnh đề d) $y = \frac{x - 3}{2x + 1}$ Điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số có hoành độ $x_0 = 0$. Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng $y = 7x + 2024$ Ta đã biết rằng: \[ y'(0) = 7 \] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x_0 = 0$ là: \[ y - y_0 = y'(0)(x - x_0) \] Tại $x_0 = 0$, ta có: \[ y_0 = \frac{0 - 3}{2 \cdot 0 + 1} = -3 \] Do đó, phương trình tiếp tuyến là: \[ y + 3 = 7(x - 0) \] \[ y = 7x - 3 \] Đường thẳng này có hệ số góc là 7, giống như đường thẳng $y = 7x + 2024$. Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng $y = 7x + 2024$. Mệnh đề d) là Đúng. Kết luận - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Sai - Mệnh đề c) Sai - Mệnh đề d) Đúng Câu 2. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{x^2}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2}{3} \right)' + \left( \frac{x^2}{2} \right)' - (2x)' \] \[ f'(x) = \frac{2x}{3} + \frac{2x}{2} - 2 \] \[ f'(x) = \frac{2x}{3} + x - 2 \] \[ f'(x) = \frac{2x + 3x}{3} - 2 \] \[ f'(x) = \frac{5x}{3} - 2 \] Bây giờ, ta kiểm tra từng mệnh đề: a) \( f'(x) = x^2 + x - 2 \) Ta đã tính được \( f'(x) = \frac{5x}{3} - 2 \). Do đó, mệnh đề này là sai. b) \( f'(x) = 0 \) có 1 nghiệm \[ \frac{5x}{3} - 2 = 0 \] \[ \frac{5x}{3} = 2 \] \[ 5x = 6 \] \[ x = \frac{6}{5} \] Phương trình này có duy nhất một nghiệm \( x = \frac{6}{5} \). Do đó, mệnh đề này là đúng. c) \( f'(x) = -2 \) có 2 nghiệm \[ \frac{5x}{3} - 2 = -2 \] \[ \frac{5x}{3} = 0 \] \[ 5x = 0 \] \[ x = 0 \] Phương trình này có duy nhất một nghiệm \( x = 0 \). Do đó, mệnh đề này là sai. d) \( f'(x) = 10 \) có 1 nghiệm \[ \frac{5x}{3} - 2 = 10 \] \[ \frac{5x}{3} = 12 \] \[ 5x = 36 \] \[ x = \frac{36}{5} \] Phương trình này có duy nhất một nghiệm \( x = \frac{36}{5} \). Do đó, mệnh đề này là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là đúng.