giải giúp em ạ(ngắn gọn chi tiết)

Câu 2. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm A, B, C trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: - Điểm A thuộc trục Ox, tọa độ là $(\frac{14}{a}, 0, 0)$. - Điểm B thuộc trục Oy, tọa độ là $(0, \frac{14}{b}, 0)$. - Điểm C thuộc trục Oz, tọa độ là $(0, 0, \frac{14}{c})$. Mặt phẳng (a) có phương trình $ax + by + cz - 14 = 0$. Ta biết rằng M là trực tâm của tam giác ABC, do đó các đường cao từ các đỉnh của tam giác ABC sẽ vuông góc với các cạnh đối diện. Ta xét các đường thẳng MA, MB, MC: - Đường thẳng MA vuông góc với BC, suy ra $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$. - Đường thẳng MB vuông góc với AC, suy ra $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$. - Đường thẳng MC vuông góc với AB, suy ra $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$. Ta tính các vectơ: - $\overrightarrow{MA} = (\frac{14}{a} - x_M, -y_M, -z_M)$. - $\overrightarrow{MB} = (-x_M, \frac{14}{b} - y_M, -z_M)$. - $\overrightarrow{MC} = (-x_M, -y_M, \frac{14}{c} - z_M)$. - $\overrightarrow{BC} = (0, -\frac{14}{b}, \frac{14}{c})$. - $\overrightarrow{AC} = (-\frac{14}{a}, 0, \frac{14}{c})$. - $\overrightarrow{AB} = (-\frac{14}{a}, \frac{14}{b}, 0)$. Áp dụng điều kiện vuông góc: 1. $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$: \[ \left( \frac{14}{a} - x_M \right) \cdot 0 + (-y_M) \cdot \left( -\frac{14}{b} \right) + (-z_M) \cdot \frac{14}{c} = 0 \] \[ \frac{14y_M}{b} - \frac{14z_M}{c} = 0 \] \[ \frac{y_M}{b} = \frac{z_M}{c} \] 2. $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$: \[ (-x_M) \cdot \left( -\frac{14}{a} \right) + \left( \frac{14}{b} - y_M \right) \cdot 0 + (-z_M) \cdot \frac{14}{c} = 0 \] \[ \frac{14x_M}{a} - \frac{14z_M}{c} = 0 \] \[ \frac{x_M}{a} = \frac{z_M}{c} \] 3. $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$: \[ (-x_M) \cdot \left( -\frac{14}{a} \right) + (-y_M) \cdot \frac{14}{b} + \left( \frac{14}{c} - z_M \right) \cdot 0 = 0 \] \[ \frac{14x_M}{a} - \frac{14y_M}{b} = 0 \] \[ \frac{x_M}{a} = \frac{y_M}{b} \] Từ ba điều kiện trên, ta thấy: \[ \frac{x_M}{a} = \frac{y_M}{b} = \frac{z_M}{c} \] Do đó, ta có thể chọn $x_M = ka$, $y_M = kb$, $z_M = kc$ với k là hằng số. Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ ax_M + by_M + cz_M - 14 = 0 \] \[ a(ka) + b(kb) + c(kc) - 14 = 0 \] \[ k(a^2 + b^2 + c^2) = 14 \] Vì M là trực tâm, ta có: \[ a^2 + b^2 + c^2 = 14/k \] Do đó: \[ k = 1 \] Suy ra: \[ a^2 + b^2 + c^2 = 14 \] Vậy tổng $T = a + b + c$ là: \[ T = a + b + c \] Đáp số: $T = a + b + c$. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S): Phương trình của mặt cầu (S) là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 5 = 0 \] Ta viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương: \[ (x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + (z^2 - 6z) + 5 = 0 \] Hoàn thành bình phương: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 + 5 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 - 9 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 9 \] Vậy tâm của mặt cầu là \( I(1, 2, 3) \) và bán kính \( R = 3 \). 2. Tìm khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng: Khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng là khoảng cách giữa hai điểm xa nhất trên cùng một mặt cầu, tức là đường kính của mặt cầu. Đường kính của mặt cầu là: \[ D = 2R = 2 \times 3 = 6 \text{ km} \] Vậy khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng là 6 km. Đáp số: 6 km. Câu 4. Gọi tổng số học sinh của trường là 100 học sinh. Số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng chuyền là: \[ 60\% \times 100 = 60 \text{ học sinh} \] Số học sinh nữ trong câu lạc bộ bóng chuyền là: \[ 65\% \times 60 = 39 \text{ học sinh nữ} \] Số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng rổ là: \[ 40\% \times 100 = 40 \text{ học sinh} \] Số học sinh nữ trong câu lạc bộ bóng rổ là: \[ 25\% \times 40 = 10 \text{ học sinh nữ} \] Tổng số học sinh nữ trong cả hai câu lạc bộ là: \[ 39 + 10 = 49 \text{ học sinh nữ} \] Xác suất chọn được học sinh nữ là: \[ \frac{49}{100} = 0.49 \] Đáp số: 0.49 Câu 1. Khi nghiêng cốc, nước chạm miệng cốc và mực nước trùng với đường kính đáy, ta có thể hình dung rằng phần nước trong cốc tạo thành một nửa hình trụ. Thể tích của một hình trụ được tính theo công thức: \[ V = \pi r^2 h \] Trong đó: - \( r \) là bán kính đáy của hình trụ, - \( h \) là chiều cao của hình trụ. Ở đây, bán kính đáy \( r = 6 \) cm và chiều cao \( h = 10 \) cm. Thể tích của toàn bộ hình trụ là: \[ V_{\text{hình trụ}} = \pi \times 6^2 \times 10 = \pi \times 36 \times 10 = 360\pi \, \text{cm}^3 \] Vì phần nước trong cốc tạo thành một nửa hình trụ, nên thể tích lượng nước trong cốc là: \[ V_{\text{nước}} = \frac{1}{2} \times 360\pi = 180\pi \, \text{cm}^3 \] Vậy thể tích lượng nước trong cốc là: \[ \boxed{180\pi \, \text{cm}^3} \] Câu 2. Để xác định phương trình giao tuyến \(d'\) của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(x + y - 5z + 4 = 0\). Vectơ pháp tuyến của \((P)\) là \(\vec{n}_P = (1, 1, -5)\). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+5}{6}\). Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec{u}_d = (2, 1, 6)\). 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\): Mặt phẳng \((Q)\) chứa đường thẳng \(d\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Do đó, vectơ pháp tuyến của \((Q)\) là \(\vec{n}_Q\), và nó phải vuông góc với cả \(\vec{u}_d\) và \(\vec{n}_P\). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{n}_Q = \vec{u}_d \times \vec{n}_P = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot (-5) - 6 \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot (-5) - 6 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \] \[ = \vec{i}(-5 - 6) - \vec{j}(-10 - 6) + \vec{k}(2 - 1) = -11\vec{i} + 16\vec{j} + \vec{k} \] Vậy \(\vec{n}_Q = (-11, 16, 1)\). 4. Tìm điểm chung của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\): Thay tọa độ của điểm trên đường thẳng \(d\) vào phương trình của mặt phẳng \((P)\): \[ x = 2t - 1, \quad y = t - 1, \quad z = 6t - 5 \] Thay vào phương trình \((P)\): \[ (2t - 1) + (t - 1) - 5(6t - 5) + 4 = 0 \] \[ 2t - 1 + t - 1 - 30t + 25 + 4 = 0 \] \[ -27t + 27 = 0 \implies t = 1 \] Khi \(t = 1\), ta có điểm \(M(1, 0, 1)\). 5. Xác định phương trình giao tuyến \(d'\): Giao tuyến \(d'\) nằm trong cả hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\), do đó nó song song với vectơ pháp tuyến của cả hai mặt phẳng. Ta tìm vectơ chỉ phương của \(d'\) bằng cách lấy tích có hướng của \(\vec{n}_P\) và \(\vec{n}_Q\): \[ \vec{u}_{d'} = \vec{n}_P \times \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -5 \\ -11 & 16 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-5) \cdot 16) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-5) \cdot (-11)) + \vec{k}(1 \cdot 16 - 1 \cdot (-11)) \] \[ = \vec{i}(1 + 80) - \vec{j}(1 - 55) + \vec{k}(16 + 11) = 81\vec{i} + 54\vec{j} + 27\vec{k} \] Vậy \(\vec{u}_{d'} = (81, 54, 27)\). Phương trình giao tuyến \(d'\) đi qua điểm \(M(1, 0, 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u}_{d'} = (81, 54, 27)\): \[ d': \frac{x - 1}{81} = \frac{y}{54} = \frac{z - 1}{27} \] Đáp số: \(d': \frac{x - 1}{81} = \frac{y}{54} = \frac{z - 1}{27}\). Câu 3. Để tìm xác suất người ném bóng lần thứ 2 là Bình, ta xét hai trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: An ném bóng đầu tiên và ném trượt. 2. Trường hợp 2: Bình ném bóng đầu tiên và ném trúng. Trường hợp 1: - Xác suất An ném bóng đầu tiên là 0,5. - Xác suất An ném trượt là 1 - 0,4 = 0,6. - Vậy xác suất của trường hợp này là: 0,5 × 0,6 = 0,3. Trường hợp 2: - Xác suất Bình ném bóng đầu tiên là 0,5. - Xác suất Bình ném trúng là 0,6. - Vậy xác suất của trường hợp này là: 0,5 × 0,6 = 0,3. Tổng xác suất người ném bóng lần thứ 2 là Bình là tổng của xác suất của hai trường hợp trên: \[ 0,3 + 0,3 = 0,6 \] Vậy xác suất để người ném bóng lần thứ 2 là Bình là 0,6.