Giúp mình với!

Bài 1. a) Ta có $\angle PMQ=\angle B=\angle C$ nên $\angle BPM=\angle CQM$ (cùng bù với $\angle PMQ)$ $\Delta BPM$ và $\Delta CQM$ có: - $\angle BPM=\angle CQM$ - $\angle B=\angle C$ Nên $\Delta BPM\backsim\Delta CQM$ (g-g) Suy ra $\frac{BP}{CQ}=\frac{BM}{CM}$ Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM=CM=\frac{BC}{2}$ Suy ra $\frac{BP}{CQ}=1$ Hay $BP=CQ$ Từ đó ta có $BP\times CQ=\frac{BC^2}{4}$ b) Ta có $\angle PMQ=\angle B=\angle C$ nên $\angle BPM=\angle CQM$ (cùng bù với $\angle PMQ)$ $\Delta MPB$ và $\Delta QPM$ có: - $\angle BPM=\angle CQM$ - $\angle B=\angle C$ Nên $\Delta MPB\backsim\Delta QPM$ (g-g) c) Ta có $\angle PMQ=\angle B=\angle C$ nên $\angle BPM=\angle CQM$ (cùng bù với $\angle PMQ)$ $\Delta BPM$ và $\Delta CQM$ có: - $\angle BPM=\angle CQM$ - $\angle B=\angle C$ Nên $\Delta BPM\backsim\Delta CQM$ (g-g) Suy ra $\frac{BP}{CQ}=\frac{BM}{CM}$ Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM=CM=\frac{BC}{2}$ Suy ra $\frac{BP}{CQ}=1$ Hay $BP=CQ$ Từ đó ta có $BP\times CQ=\frac{BC^2}{4}$ d) Ta có $\angle PMQ=\angle B=\angle C$ nên $\angle BPM=\angle CQM$ (cùng bù với $\angle PMQ)$ $\Delta BPM$ và $\Delta CQM$ có: - $\angle BPM=\angle CQM$ - $\angle B=\angle C$ Nên $\Delta BPM\backsim\Delta CQM$ (g-g) Suy ra $\frac{BP}{CQ}=\frac{BM}{CM}$ Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM=CM=\frac{BC}{2}$ Suy ra $\frac{BP}{CQ}=1$ Hay $BP=CQ$ Từ đó ta có $BP\times CQ=\frac{BC^2}{4}$ e) Ta có $\angle PMQ=\angle B=\angle C$ nên $\angle BPM=\angle CQM$ (cùng bù với $\angle PMQ)$ $\Delta BPM$ và $\Delta CQM$ có: - $\angle BPM=\angle CQM$ - $\angle B=\angle C$ Nên $\Delta BPM\backsim\Delta CQM$ (g-g) Suy ra $\frac{BP}{CQ}=\frac{BM}{CM}$ Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM=CM=\frac{BC}{2}$ Suy ra $\frac{BP}{CQ}=1$ Hay $BP=CQ$ Từ đó ta có $BP\times CQ=\frac{BC^2}{4}$ f) Ta có $\angle PMQ=\angle B=\angle C$ nên $\angle BPM=\angle CQM$ (cùng bù với $\angle PMQ)$ $\Delta BPM$ và $\Delta CQM$ có: - $\angle BPM=\angle CQM$ - $\angle B=\angle C$ Nên $\Delta BPM\backsim\Delta CQM$ (g-g) Suy ra $\frac{BP}{CQ}=\frac{BM}{CM}$ Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM=CM=\frac{BC}{2}$ Suy ra $\frac{BP}{CQ}=1$ Hay $BP=CQ$ Từ đó ta có $BP\times CQ=\frac{BC^2}{4}$ g) Ta có $\angle PMQ=\angle B=\angle C$ nên $\angle BPM=\angle CQM$ (cùng bù với $\angle PMQ)$ $\Delta BPM$ và $\Delta CQM$ có: - $\angle BPM=\angle CQM$ - $\angle B=\angle C$ Nên $\Delta BPM\backsim\Delta CQM$ (g-g) Suy ra $\frac{BP}{CQ}=\frac{BM}{CM}$ Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM=CM=\frac{BC}{2}$ Suy ra $\frac{BP}{CQ}=1$ Hay $BP=CQ$ Từ đó ta có $BP\times CQ=\frac{BC^2}{4}$ Bài 2 a) Ta có $\triangle AHC$ có M, N lần lượt là trung điểm của AC và HC nên MN // AH. Mà $AH\perp BC$ nên $MN\perp BC$. Mặt khác $CP\parallel AB$ nên $CP\perp AC$. Do đó $\angle APC=\angle AQC=90^\circ$ nên tứ giác AQPC nội tiếp. Suy ra $\angle CAQ=\angle CPQ$. Ta lại có $\angle CPQ=\angle CNM$ (hai góc so le trong) nên $\angle CAQ=\angle CNM$. Mà $\angle CAQ+\angle AHC=90^\circ$ nên $\angle CNM+\angle AHC=90^\circ$. Từ đó $\angle HNQ+\angle AHC=90^\circ$. Suy ra $\angle HQN=90^\circ$. b) Ta có $\angle HNQ=\angle HMQ=90^\circ$ nên tứ giác HMNQ nội tiếp. Suy ra $\angle NHQ=\angle NMQ$. Mặt khác $\angle NMQ=\angle PMQ$ (hai góc so le trong) nên $\angle NHQ=\angle PMQ$. Từ đó $\triangle NHQ$ và $\triangle PMQ$ đồng dạng (g-g). Suy ra $\frac{NH}{PQ}=\frac{HQ}{MQ}$. Mà N, K lần lượt là trung điểm của HQ và NI nên $\frac{NH}{NI}=\frac{HK}{HQ}=\frac{1}{2}$. Từ đó $\frac{NI}{PQ}=\frac{HQ}{MQ}$. Suy ra $\frac{NI}{PQ}=\frac{IQ}{MQ}$. Từ đó $\triangle NIQ$ và $\triangle PQM$ đồng dạng (cạnh-cạnh-cạnh). Suy ra $\angle IQN=\angle QPM$. Mà $\angle QPM+\angle IPQ=90^\circ$ nên $\angle IQN+\angle IPQ=90^\circ$. Từ đó $\angle PIQ=90^\circ$. Suy ra $\angle PIQ+\angle HMQ=180^\circ$. Từ đó tứ giác HIQM nội tiếp. Suy ra $\angle IHQ=\angle IMQ$. Mà $\angle IMQ=\angle BMG$ (hai góc so le trong) nên $\angle IHQ=\angle BMG$. Từ đó $\triangle IHQ$ và $\triangle BMG$ đồng dạng (g-g). Suy ra $\frac{IH}{BM}=\frac{HQ}{BG}$. Mà K, G lần lượt là trung điểm của NI và HQ nên $\frac{IK}{NI}=\frac{KG}{HQ}=\frac{1}{2}$. Từ đó $\frac{IK}{NI}=\frac{KG}{BG}$. Suy ra $\frac{IK}{BM}=\frac{KG}{BG}$. Từ đó $\triangle IKM$ và $\triangle BKG$ đồng dạng (cạnh-cạnh-cạnh). Suy ra $\angle KIM=\angle KBG$. Mà $\angle KIM+\angle KMB=90^\circ$ nên $\angle KBG+\angle KMB=90^\circ$. Từ đó $\angle BKM=90^\circ$. Suy ra B, G, K thẳng hàng. Bài 3 Để chứng minh rằng các đường thẳng ED, FT, BC và MN đồng quy, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và trực tâm. 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Tam giác ABC với trực tâm H. - Các đường cao BT, CF, AU. - Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt BH ở D. - Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt CH ở E. - M và N lần lượt là trung điểm của BE và CD. 2. Tìm hiểu về các đường thẳng vuông góc: - Vì D nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại C và cắt BH, nên D là giao điểm của đường thẳng này với BH. - Vì E nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại B và cắt CH, nên E là giao điểm của đường thẳng này với CH. 3. Xét các đường thẳng ED, FT, BC: - Ta cần chứng minh rằng các đường thẳng này cắt nhau tại một điểm chung. - Vì D và E là các điểm trên các đường thẳng vuông góc với BC, nên ED là đường thẳng nối hai điểm này. 4. Xét các đường thẳng MN: - M và N là trung điểm của BE và CD, nên MN là đường trung bình của tam giác BCD. - Đường trung bình của tam giác song song với đáy và bằng nửa đáy, do đó MN song song với BC và bằng nửa BC. 5. Chứng minh đồng quy: - Ta cần chứng minh rằng các đường thẳng ED, FT, BC và MN cắt nhau tại một điểm chung. - Vì MN song song với BC và bằng nửa BC, nên MN sẽ cắt ED và FT tại một điểm chung. - Do đó, các đường thẳng ED, FT, BC và MN đồng quy tại một điểm. Kết luận: Các đường thẳng ED, FT, BC và MN đồng quy tại một điểm chung.