Giải chi tiết giúp em

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của biểu thức \(\int \left( -4 - \frac{2}{x^2} \right) dx\), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng lẻ. 1. Tính nguyên hàm của \(-4\): \[ \int -4 \, dx = -4x + C_1 \] 2. Tính nguyên hàm của \(-\frac{2}{x^2}\): \[ \int -\frac{2}{x^2} \, dx = -2 \int x^{-2} \, dx = -2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = \frac{2}{x} + C_2 \] 3. Kết hợp hai kết quả trên lại: \[ \int \left( -4 - \frac{2}{x^2} \right) dx = -4x + \frac{2}{x} + C \] Trong đó, \(C\) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \(C_1\) và \(C_2\). Vậy nguyên hàm của \(\int \left( -4 - \frac{2}{x^2} \right) dx\) là: \[ -4x + \frac{2}{x} + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~ -4x + \frac{2}{x} + C \] Câu 2. Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -5x^2 - 10x$, trục hoành và các đường thẳng $x = -6$ và $x = -4$ quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành: Đặt $y = 0$: \[ -5x^2 - 10x = 0 \] \[ -5x(x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 2. Xác định khoảng tích phân: Hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $x = -6$, $x = -4$ và trục hoành. Do đó, ta sẽ tính thể tích khối tròn xoay từ $x = -6$ đến $x = -4$. 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và các đường thẳng $x = a$, $x = b$ quay quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, $f(x) = -5x^2 - 10x$, $a = -6$, và $b = -4$. Ta có: \[ V = \pi \int_{-6}^{-4} (-5x^2 - 10x)^2 \, dx \] 4. Tính tích phân: \[ (-5x^2 - 10x)^2 = 25x^4 + 100x^3 + 100x^2 \] Do đó: \[ V = \pi \int_{-6}^{-4} (25x^4 + 100x^3 + 100x^2) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_{-6}^{-4} 25x^4 \, dx = 25 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-6}^{-4} = 5 \left[ x^5 \right]_{-6}^{-4} = 5 \left( (-4)^5 - (-6)^5 \right) \] \[ = 5 \left( -1024 + 7776 \right) = 5 \times 6752 = 33760 \] \[ \int_{-6}^{-4} 100x^3 \, dx = 100 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-6}^{-4} = 25 \left[ x^4 \right]_{-6}^{-4} = 25 \left( (-4)^4 - (-6)^4 \right) \] \[ = 25 \left( 256 - 1296 \right) = 25 \times (-1040) = -26000 \] \[ \int_{-6}^{-4} 100x^2 \, dx = 100 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-6}^{-4} = \frac{100}{3} \left[ x^3 \right]_{-6}^{-4} = \frac{100}{3} \left( (-4)^3 - (-6)^3 \right) \] \[ = \frac{100}{3} \left( -64 + 216 \right) = \frac{100}{3} \times 152 = \frac{15200}{3} \] 5. Tổng hợp kết quả: \[ V = \pi \left( 33760 - 26000 + \frac{15200}{3} \right) = \pi \left( 7760 + \frac{15200}{3} \right) = \pi \left( \frac{23280}{3} + \frac{15200}{3} \right) = \pi \left( \frac{38480}{3} \right) \] \[ V = \frac{38480}{3} \pi \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{38480}{3} \pi} \] Câu 3. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu. Trong bảng đã cho: - Giá trị nhỏ nhất của điểm thi là 2 (ở nhóm [2; 4)). - Giá trị lớn nhất của điểm thi là 12 (ở nhóm [10; 12)). Do đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ 12 - 2 = 10 \] Vậy đáp án đúng là: C. 10. Câu 4. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $C(4;-7;0)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n} = (-1; -3; -5)$ làm véctơ pháp tuyến có dạng: \[ -1(x - 4) - 3(y + 7) - 5(z - 0) = 0 \] Ta thực hiện phép nhân và giản ước: \[ -(x - 4) - 3(y + 7) - 5z = 0 \] \[ -x + 4 - 3y - 21 - 5z = 0 \] \[ -x - 3y - 5z - 17 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ -x - 3y - 5z - 17 = 0 \] Đáp án đúng là: B. $-x - 3y - 5z - 17 = 0$. Câu 5. Để tính tổng tiền cả vốn lẫn lãi người đó nhận được sau 2 tháng khi gửi tiết kiệm theo hình thức lãi suất kép, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định lãi suất hàng tháng và thời gian gửi tiết kiệm. - Lãi suất hàng tháng: 0,44% = 0,0044 - Thời gian gửi tiết kiệm: 2 tháng Bước 2: Áp dụng công thức lãi suất kép để tính tổng tiền cả vốn lẫn lãi. Công thức lãi suất kép: \( A = P(1 + r)^n \) - \( A \) là tổng tiền cả vốn lẫn lãi sau n tháng. - \( P \) là số tiền ban đầu (tiền gốc). - \( r \) là lãi suất hàng tháng. - \( n \) là số tháng gửi tiết kiệm. Áp dụng vào bài toán: - \( P = 89 \) triệu đồng - \( r = 0,0044 \) - \( n = 2 \) Tính tổng tiền cả vốn lẫn lãi sau 2 tháng: \[ A = 89 \times (1 + 0,0044)^2 \] \[ A = 89 \times (1,0044)^2 \] \[ A = 89 \times 1,00881936 \] \[ A \approx 89,78 \text{ triệu đồng} \] Vậy tổng tiền cả vốn lẫn lãi người đó nhận được sau 2 tháng là 89,78 triệu đồng. Đáp án đúng là: B. 89,78 triệu đồng. Câu 6. Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, chéo nhau hoặc cắt nhau. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng - Đường thẳng \(d\) có phương trình: \(\frac{x-2}{8} = \frac{y+8}{-1} = \frac{z-3}{-1}\) Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec{u} = (8, -1, -1)\). - Đường thẳng \(d'\) có phương trình: \(\frac{x+22}{-24} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-4}{3}\) Vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\vec{v} = (-24, 3, 3)\). Bước 2: Kiểm tra điều kiện song song Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng tỉ lệ với nhau: \[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \] Ta có: \[ (8, -1, -1) = k \cdot (-24, 3, 3) \] Từ đây, ta có hệ phương trình: \[ 8 = -24k \\ -1 = 3k \\ -1 = 3k \] Giải hệ phương trình này: \[ k = -\frac{1}{3} \] Vì \(k = -\frac{1}{3}\) thỏa mãn cả ba phương trình, nên \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) tỉ lệ với nhau. Do đó, hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song. Kết luận Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song với nhau. Đáp án đúng là: C. d song song với d'. Câu 7. Trước tiên, ta biết rằng trong một cấp số cộng, công sai \(d\) là hằng số và mỗi số hạng \(u_n\) có thể được tính bằng công thức: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Ta đã biết hai số hạng cụ thể của dãy số: \[ u_6 = 13 \] \[ u_{13} = 6 \] Áp dụng công thức trên vào hai số hạng này, ta có: \[ u_6 = u_1 + 5d = 13 \] \[ u_{13} = u_1 + 12d = 6 \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm \(u_1\) và \(d\). Từ phương trình thứ nhất: \[ u_1 + 5d = 13 \quad \text{(1)} \] Từ phương trình thứ hai: \[ u_1 + 12d = 6 \quad \text{(2)} \] Tiếp theo, ta trừ phương trình (1) từ phương trình (2): \[ (u_1 + 12d) - (u_1 + 5d) = 6 - 13 \] \[ 7d = -7 \] \[ d = -1 \] Bây giờ, ta thay \(d = -1\) vào phương trình (1) để tìm \(u_1\): \[ u_1 + 5(-1) = 13 \] \[ u_1 - 5 = 13 \] \[ u_1 = 18 \] Vậy số hạng đầu \(u_1\) của cấp số cộng là: \[ \boxed{18} \]