giyps mik với

Câu 1: Để xác định hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \((a; b)\), ta cần hiểu rằng: - Nguyên hàm của một hàm số \( f(x) \) là một hàm số \( F(x) \) sao cho đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \). Do đó, ta có: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in (a; b) \] Trong các lựa chọn đã cho, chỉ có đáp án \( C \) đúng vì nó thể hiện rằng đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \): \[ C.~F(x) = f(x),~\forall x \in (a; b) \] Tuy nhiên, để chính xác hơn, ta nên viết lại như sau: \[ C.~F'(x) = f(x),~\forall x \in (a; b) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C} \] Câu 2: Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Bước 1: Xác định hàm số cần tính nguyên hàm: $f(x) = 3x^2$ Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm: $\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C$ Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2$ là $x^3 + C$. Do đó, đáp án đúng là: A. $x^3 + C$ Câu 3: Câu hỏi: Nếu $\int f(x)dx=4$ thì $\int^2_{3f(x)dx}$ bằng $\int^3_13dx$ A. 12. B. 4. C. 7. $D.~\frac43.$. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng $\int f(x)dx = 4$ có nghĩa là tích phân của hàm số $f(x)$ từ một cận dưới đến một cận trên là 4. Tuy nhiên, trong câu hỏi, chúng ta cần tính $\int^2_{3f(x)dx}$ và $\int^3_13dx$. Trước tiên, chúng ta sẽ tính $\int^3_13dx$: \[ \int^3_13dx = 3 \int^3_1 dx = 3 [x]^3_1 = 3 (3 - 1) = 3 \times 2 = 6 \] Tiếp theo, chúng ta cần tính $\int^2_{3f(x)dx}$. Tuy nhiên, câu hỏi này có vẻ chưa rõ ràng về cận dưới và cận trên của tích phân. Chúng ta sẽ giả sử rằng cận dưới là 0 và cận trên là 2 để tiếp tục giải bài toán. \[ \int^2_{0} 3f(x)dx = 3 \int^2_{0} f(x)dx \] Do $\int f(x)dx = 4$, chúng ta có thể suy ra rằng $\int^2_{0} f(x)dx = 4$. Do đó: \[ 3 \int^2_{0} f(x)dx = 3 \times 4 = 12 \] Vậy, $\int^2_{3f(x)dx}$ bằng 12. Đáp án đúng là: A. 12. Câu 4: Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 3x^2 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) và \( x = 1 \), ta sử dụng công thức tính diện tích dưới đồ thị của hàm số \( f(x) \) từ \( x = a \) đến \( x = b \): \[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] Trong trường hợp này, hàm số \( f(x) = 3x^2 \) và khoảng tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). Do đó, diện tích S sẽ được tính bằng công thức: \[ S = \int_{0}^{1} 3x^2 \, dx \] So sánh với các đáp án đã cho: - Đáp án A: \( S = \pi \int 3x^3 \, dx \) - Đáp án B: \( S = \int x^2 \, dx \) - Đáp án C: \( S = \pi \int (3x^2)^2 \, dx \) - Đáp án D: \( S = 3 \int x^2 \, dx \) Ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ D.~S = 3 \int x^2 \, dx \] Vậy đáp án đúng là \( D.~S = 3 \int x^2 \, dx \). Câu 5: Để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(a): x - 3y + 12 = 0$, ta cần tìm vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của biến trong phương trình mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng $(a)$ có dạng: \[ x - 3y + 12 = 0 \] Từ phương trình này, ta thấy rằng: - Hệ số của \(x\) là 1. - Hệ số của \(y\) là -3. - Hệ số của \(z\) là 0 (vì không có biến \(z\) trong phương trình). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(a)$ sẽ có dạng: \[ \overrightarrow{n} = (1, -3, 0) \] So sánh với các lựa chọn đã cho: - A. $\overrightarrow{n_1} = (1, -3, 0)$ - B. $\overrightarrow{n_2} = (0, 1, -3)$ - C. $\overrightarrow{n_3} = (1, -3, 12)$ - D. $\overrightarrow{n_4} = (1, 0, -3)$ Ta thấy rằng vectơ pháp tuyến đúng là: \[ \overrightarrow{n_1} = (1, -3, 0) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A. \overrightarrow{n_1} = (1, -3, 0)} \] Câu 6: Mặt phẳng (Oxz) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và hai trục Ox và Oz. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) là mặt phẳng đứng thẳng và song song với trục Oy. Do đó, mọi điểm thuộc mặt phẳng này sẽ có tọa độ y = 0. Vậy phương trình của mặt phẳng (Oxz) là: \[ y = 0 \] Đáp án đúng là: \[ D.~y=0. \] Câu 7: Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm \( A(1;0;-2) \) và vuông góc với mặt phẳng \( (P): 2x - y + z + 3 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng \( (P): 2x - y + z + 3 = 0 \) có vectơ pháp tuyến là \( \vec{n} = (2, -1, 1) \). 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \( (P) \) sẽ có vectơ chỉ phương trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là \( \vec{d} = (2, -1, 1) \). 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng đi qua điểm \( A(1;0;-2) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{d} = (2, -1, 1) \) có phương trình tham số là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 0 - t \\ z = -2 + t \end{array} \right. \] So sánh với các phương án đã cho, ta thấy phương án đúng là: \[ A.\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = -2 + t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A} \] Câu 8: Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$: Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: \(2x - y - z + 5 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n} = (2, -1, -1)\). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t \\ y = t \\ z = t \end{array} \right. \] Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là \(\vec{d} = (-2, 1, 1)\). 3. Tính góc giữa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng: Gọi góc giữa vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) và vectơ chỉ phương \(\vec{d}\) là \(\theta\). Ta có: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n} \cdot \vec{d}}{|\vec{n}| |\vec{d}|} \] Tính tích vô hướng \(\vec{n} \cdot \vec{d}\): \[ \vec{n} \cdot \vec{d} = 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = -4 - 1 - 1 = -6 \] Tính độ dài của \(\vec{n}\) và \(\vec{d}\): \[ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{-6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-6}{6} = -1 \] Vậy \(\theta = 180^\circ\). 4. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là \(\phi\), và ta biết rằng: \[ \sin \phi = |\cos \theta| \] Vì \(\cos \theta = -1\), nên: \[ \sin \phi = | -1 | = 1 \] Do đó: \[ \phi = 90^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là \(90^\circ\). Đáp án đúng là: \(A.~90^\circ\). Câu 9. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, -3) \) - \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 2 \), \( d = -10 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 10|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \] \[ d = \frac{|1 + 4 - 6 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ d = \frac{|-11|}{\sqrt{9}} \] \[ d = \frac{11}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1;2;-3) \) đến mặt phẳng \( (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 \) là: \[ d = \frac{11}{3} \]