Help meeee

Câu 1. Điều kiện xác định: \[ x + 2 > 0 \quad \text{và} \quad 8 - \log_2(x + 2) \geq 0 \] \[ x > -2 \quad \text{và} \quad \log_2(x + 2) \leq 8 \] \[ x > -2 \quad \text{và} \quad x + 2 \leq 2^8 \] \[ x > -2 \quad \text{và} \quad x \leq 254 \] \[ -2 < x \leq 254 \] Bất phương trình đã cho tương đương với: \[ (x^2 - 6x + 5) \cdot \sqrt{8 - \log_2(x + 2)} \geq 0 \] Ta xét các trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: \( \sqrt{8 - \log_2(x + 2)} = 0 \) \[ 8 - \log_2(x + 2) = 0 \] \[ \log_2(x + 2) = 8 \] \[ x + 2 = 2^8 \] \[ x + 2 = 256 \] \[ x = 254 \] 2. Trường hợp 2: \( x^2 - 6x + 5 \geq 0 \) và \( \sqrt{8 - \log_2(x + 2)} > 0 \) Phương trình \( x^2 - 6x + 5 = 0 \) có các nghiệm: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = 5 \] Do đó, \( x^2 - 6x + 5 \geq 0 \) khi: \[ x \leq 1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 5 \] Với điều kiện \( \sqrt{8 - \log_2(x + 2)} > 0 \): \[ 8 - \log_2(x + 2) > 0 \] \[ \log_2(x + 2) < 8 \] \[ x + 2 < 256 \] \[ x < 254 \] Kết hợp các điều kiện trên ta có: \[ -2 < x \leq 1 \quad \text{hoặc} \quad 5 \leq x < 254 \] Tổng hợp lại, tập nghiệm của bất phương trình là: \[ -2 < x \leq 1 \quad \text{hoặc} \quad 5 \leq x \leq 254 \] Các số nguyên trong khoảng này là: \[ x = -1, 0, 1, 5, 6, 7, ..., 254 \] Số lượng các số nguyên là: \[ (1 - (-1)) + 1 + (254 - 5) + 1 = 3 + 249 + 1 = 253 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình có tất cả 253 số nguyên. Câu 2. Để tính gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 0,25 \) giờ, ta cần biết vận tốc \( v(t) \) là hàm của thời gian \( t \). Trước tiên, ta xác định phương trình của đường parabol dựa trên thông tin về đỉnh \( I \left( \frac{1}{2}; 8 \right) \) và trục đối xứng song song với trục tung. Phương trình tổng quát của đường parabol có dạng: \[ v(t) = a(t - h)^2 + k \] Trong đó, \( (h, k) \) là tọa độ đỉnh của parabol. Ở đây, \( h = \frac{1}{2} \) và \( k = 8 \), nên ta có: \[ v(t) = a \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + 8 \] Ta cần xác định hệ số \( a \). Để làm điều này, ta cần thêm một điểm khác trên đồ thị. Giả sử ta biết rằng khi \( t = 0 \), vận tốc \( v(0) = 0 \): \[ 0 = a \left( 0 - \frac{1}{2} \right)^2 + 8 \] \[ 0 = a \left( \frac{1}{4} \right) + 8 \] \[ 0 = \frac{a}{4} + 8 \] \[ \frac{a}{4} = -8 \] \[ a = -32 \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ v(t) = -32 \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + 8 \] Bây giờ, ta tính gia tốc \( a(t) \) của vật tại thời điểm \( t = 0,25 \) giờ. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian: \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \] Tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v(t) = -32 \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + 8 \] \[ \frac{d}{dt} \left[ -32 \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 + 8 \right] = -32 \cdot 2 \left( t - \frac{1}{2} \right) \cdot 1 \] \[ a(t) = -64 \left( t - \frac{1}{2} \right) \] Thay \( t = 0,25 \) vào phương trình gia tốc: \[ a(0,25) = -64 \left( 0,25 - \frac{1}{2} \right) \] \[ a(0,25) = -64 \left( 0,25 - 0,5 \right) \] \[ a(0,25) = -64 \left( -0,25 \right) \] \[ a(0,25) = 16 \text{ km/h}^2 \] Chuyển đổi đơn vị từ km/h² sang m/s²: \[ 1 \text{ km/h}^2 = \frac{1000 \text{ m}}{(3600 \text{ s})^2} = \frac{1000}{12960000} \text{ m/s}^2 = \frac{1}{12960} \text{ m/s}^2 \approx 0,00007716 \text{ m/s}^2 \] Do đó: \[ 16 \text{ km/h}^2 = 16 \times 0,00007716 \text{ m/s}^2 \approx 0,00123456 \text{ m/s}^2 \] Như vậy, gia tốc của vật lúc \( t = 0,25 \) giờ là khoảng \( 0,00123456 \text{ m/s}^2 \).