Câu 1:
Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
- Đường thẳng có phương trình tham số:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
- Mặt phẳng có phương trình:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
2. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có công thức:
- Tính tích vô hướng :
- Tính độ dài của vectơ :
- Tính độ dài của vectơ :
- Tính :
- Tính góc :
- Chuyển đổi sang đơn vị độ và làm tròn đến hàng phần chục:
Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .
Câu 2:
Để tính quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ đến , ta cần tính tích phân của vận tốc từ đến .
Bước 1: Xác định vận tốc :
Bước 2: Tính tích phân của từ đến :
Bước 3: Tính tích phân từng phần:
Bước 4: Đánh giá tích phân từ đến :
Do quãng đường là giá trị tuyệt đối của tích phân, nên quãng đường vật đi được là:
Đáp số: 18 mét
Câu 3:
Để tính xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ, ta làm như sau:
1. Tổng số viên bi trong bình:
- Bi xanh: 8 viên
- Bi đỏ: 6 viên
- Tổng cộng: 8 + 6 = 14 viên
2. Số viên bi còn lại sau khi lấy ra 1 viên bi đỏ đầu tiên:
- Số viên bi còn lại: 14 - 1 = 13 viên
- Số viên bi xanh còn lại: 8 viên
3. Xác suất để bi thứ 2 là màu xanh:
- Số trường hợp thuận lợi (bi thứ 2 là màu xanh): 8 trường hợp
- Tổng số trường hợp có thể xảy ra (sau khi đã lấy ra 1 viên bi đỏ): 13 trường hợp
Xác suất để bi thứ 2 là màu xanh là:
4. Chuyển đổi xác suất thành phần trăm:
Vậy xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ là khoảng 61.54%.
Câu 4:
Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điểm là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa, nghĩa là điểm nằm trên đường thẳng và cách đài kiểm soát không lưu 417 km.
Bước 1: Xác định phương trình tham số của đường thẳng .
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Phương trình tham số của đường thẳng là:
Bước 2: Xác định điều kiện để máy bay cách đài kiểm soát không lưu 417 km.
Đài kiểm soát không lưu có tọa độ . Điểm cách đài kiểm soát không lưu 417 km, tức là:
Thay , , vào phương trình trên:
Bước 3: Giải phương trình bậc hai để tìm .
Phương trình này phức tạp, nhưng chúng ta có thể sử dụng phương pháp đại số hoặc máy tính để giải. Kết quả là:
Bước 4: Tìm tọa độ của điểm .
Thay vào phương trình tham số của đường thẳng :
Bước 5: Tính .
Vậy, giá trị của là:
Câu 1.
Gọi A là biến cố "Lấy ra 1 quả bóng từ hộp I".
Gọi B là biến cố "Lấy ra 1 quả bóng từ hộp II".
Gọi C là biến cố "Quả bóng lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang".
Gọi D là biến cố "Quả bóng lấy ra từ hộp II có màu đỏ".
Xác suất để lấy ra 1 quả bóng từ hộp I là:
Xác suất để lấy ra 1 quả bóng từ hộp II là:
Xác suất để quả bóng lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang là:
Xác suất để quả bóng lấy ra từ hộp II có màu đỏ là:
Xác suất để quả bóng lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang và có màu đỏ là:
Xác suất để quả bóng lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ là:
Vậy xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ là 0.125, làm tròn đến hàng phần trăm là 0.13.
Câu 2.
Để tìm khoảng cách từ điểm M đến điểm O, ta cần xác định tọa độ của điểm M trước. Ta biết rằng điểm M thỏa mãn các điều kiện về khoảng cách đến các vệ tinh A, B, C, D. Ta sẽ sử dụng các điều kiện này để lập phương trình và tìm tọa độ của M.
1. Tìm tọa độ của điểm M:
- Điều kiện :
- Điều kiện :
- Điều kiện :
- Điều kiện :
2. Giải hệ phương trình:
Ta sẽ giải hệ phương trình (1), (2), (3), và (4) để tìm , , và .
Từ phương trình (1):
Từ phương trình (2):
Từ phương trình (3):
Từ phương trình (4):
Ta sẽ thực hiện các phép trừ và biến đổi để đơn giản hóa hệ phương trình. Sau khi giải hệ phương trình này, ta tìm được:
3. Tính khoảng cách từ điểm M đến điểm O:
Điểm M có tọa độ . Khoảng cách từ điểm M đến điểm O (0, 0, 0) là:
Vậy khoảng cách từ điểm M đến điểm O là .
Câu 3
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định phương trình của parabol.
2. Tính diện tích hình chữ nhật MNPQ.
3. Tính diện tích phần phía ngoài phông (phần không tô đen).
Bước 1: Xác định phương trình của parabol
Parabol có đỉnh tại gốc tọa độ O(0,0) và đi qua điểm A(-4,0) và B(4,0). Phương trình của parabol có dạng:
Vì parabol đi qua điểm A(-4,0) hoặc B(4,0), ta có:
Do đó, phương trình của parabol là:
Bước 2: Tính diện tích hình chữ nhật MNPQ
Hình chữ nhật MNPQ có chiều dài MN = 4 m và chiều cao MQ = 6 m. Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
Bước 3: Tính diện tích phần phía ngoài phông (phần không tô đen)
Diện tích phần phía ngoài phông là diện tích dưới parabol trừ đi diện tích hình chữ nhật MNPQ.
Diện tích dưới parabol từ x = -4 đến x = 4 là:
Tính tích phân:
Diện tích dưới parabol từ x = -4 đến x = 4 là:
Diện tích phần phía ngoài phông là:
Diện tích phần phía ngoài phông là:
Vậy diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa (phần không tô đen) là khoảng 10.7 mét vuông.