giup mik voi

Câu 10: Mặt cầu $(S):~(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=16$ có tâm là $(2,-3,1)$ và bán kính là 4. Do đó, tâm của mặt cầu (S) có tọa độ là $(2,-3,1)$. Đáp án đúng là: A. $(2,-3,1)$ Câu 11: Để tính xác suất điều kiện \( P(A|B) \), ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(AB) \) là xác suất của cả hai biến cố A và B xảy ra cùng lúc. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố B. Theo đề bài, ta có: - \( P(A) = 0,4 \) - \( P(B) = 0,6 \) - \( P(AB) = 0,2 \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{0,2}{0,6} = \frac{1}{3} \] Vậy xác suất \( P(A|B) \) là \(\frac{1}{3}\). Đáp án đúng là: \( A.~\frac{1}{3} \). Câu 12: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức xác suất tổng hợp. Công thức này cho phép ta tính xác suất của một biến cố A dựa trên xác suất của các biến cố con và điều kiện liên quan. Công thức xác suất tổng hợp là: \[ P(A) = P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B}) \] Trong đó: - \( P(A|B) \) là xác suất của biến cố A xảy ra khi biết rằng biến cố B đã xảy ra. - \( P(A|\overline{B}) \) là xác suất của biến cố A xảy ra khi biết rằng biến cố B không xảy ra. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố B. - \( P(\overline{B}) \) là xác suất của biến cố B không xảy ra. Ta thấy rằng công thức này chính xác với lựa chọn A trong các đáp án đã cho. Do đó, khẳng định đúng là: \[ A.~P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline B)P(A|\overline B). \] Câu 1: a) Phương trình đường thẳng $(OA)$: Phương trình đường thẳng $(OA)$ đi qua điểm $A(1;-2;2)$ và có véctơ hướng $\overrightarrow{OA} = (1, -2, 2)$ là: \[ \frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{2} \] b) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(MNK)$: Mặt phẳng $(MNK)$ đi qua các điểm $M$, $N$, và $K$ là hình chiếu của điểm $A$ lên các trục $Ox$, $Oy$, và $Oz$. Do đó: - $M(1, 0, 0)$ - $N(0, -2, 0)$ - $K(0, 0, 2)$ Vectơ $\overrightarrow{MN} = (-1, -2, 0)$ và vectơ $\overrightarrow{MK} = (-1, 0, 2)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(MNK)$ là tích có hướng của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1 \cdot 2 - 0 \cdot -1) + \mathbf{k}(-1 \cdot 0 - (-2) \cdot -1) \] \[ = \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(-2) = (-4, 2, -2) \] Do đó, phương trình mặt phẳng $(MNK)$ là: \[ -4(x - 1) + 2(y + 2) - 2(z - 2) = 0 \] \[ -4x + 4 + 2y + 4 - 2z + 4 = 0 \] \[ -4x + 2y - 2z + 12 = 0 \] \[ 2x - y + z - 6 = 0 \] c) Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(MNK)$: Khoảng cách từ điểm $O(0, 0, 0)$ đến mặt phẳng $2x - y + z - 6 = 0$ là: \[ d(O, (MNK)) = \frac{|2 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \] d) Mặt phẳng $(P): ax + by + cz - 1 = 0$ đi qua điểm $A(1, -2, 2)$: Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ a \cdot 1 + b \cdot (-2) + c \cdot 2 - 1 = 0 \] \[ a - 2b + 2c - 1 = 0 \] \[ a - 2b + 2c = 1 \] Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(P)$ là: \[ d(O, (P)) = \frac{|a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 - 1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Để khoảng cách này lớn nhất, ta cần $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $a^2 + b^2 + c^2$ nhỏ nhất. Ta có: \[ a - 2b + 2c = 1 \] Áp dụng phương pháp Lagrange để tối thiểu hóa $a^2 + b^2 + c^2$ dưới ràng buộc $a - 2b + 2c = 1$. Xét hàm: \[ f(a, b, c) = a^2 + b^2 + c^2 \] với ràng buộc: \[ g(a, b, c) = a - 2b + 2c - 1 = 0 \] Hàm Lagrange là: \[ L(a, b, c, \lambda) = a^2 + b^2 + c^2 + \lambda (a - 2b + 2c - 1) \] Đạo hàm riêng và đặt chúng bằng 0: \[ \frac{\partial L}{\partial a} = 2a + \lambda = 0 \implies \lambda = -2a \] \[ \frac{\partial L}{\partial b} = 2b - 2\lambda = 0 \implies \lambda = b \] \[ \frac{\partial L}{\partial c} = 2c + 2\lambda = 0 \implies \lambda = -c \] \[ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = a - 2b + 2c - 1 = 0 \] Từ $\lambda = -2a$, $\lambda = b$, và $\lambda = -c$, ta có: \[ -2a = b \quad \text{và} \quad -2a = -c \implies c = 2a \] Thay vào ràng buộc: \[ a - 2(-2a) + 2(2a) - 1 = 0 \] \[ a + 4a + 4a - 1 = 0 \] \[ 9a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{9} \] \[ b = -2a = -2 \cdot \frac{1}{9} = -\frac{2}{9} \] \[ c = 2a = 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9} \] Vậy: \[ a + b + c = \frac{1}{9} - \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{1}{9} \] Đáp án: $\boxed{\frac{1}{9}}$ Câu 2: a) Ta có tâm của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tọa độ của tâm I là: \[ I\left(\frac{1+3}{2}; \frac{2-2}{2}; \frac{-4+0}{2}\right) = I(2; 0; -2) \] b) Bán kính của mặt cầu (S) là khoảng cách từ tâm I đến một trong hai đầu mút của đường kính AB. Ta tính khoảng cách IA: \[ IA = \sqrt{(2-1)^2 + (0-2)^2 + (-2+4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Phương trình mặt cầu (S) với tâm I(2; 0; -2) và bán kính 3 là: \[ (x-2)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 9 \] c) Để kiểm tra điểm M(0; 1; -5) có nằm trong mặt cầu (S) hay không, ta thay tọa độ của M vào phương trình mặt cầu (S): \[ (0-2)^2 + 1^2 + (-5+2)^2 = 4 + 1 + 9 = 14 \] Vì 14 > 9, nên điểm M không nằm trong mặt cầu (S). d) Ta viết lại phương trình mặt cầu (S') dưới dạng chuẩn: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0 \] \[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + (z^2 - 6z) = -5 \] \[ (x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + (z-3)^2 - 9 = -5 \] \[ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 - 14 = -5 \] \[ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 9 \] Tâm của mặt cầu (S') là (1, -2, 3) và bán kính là 3. Vậy mặt cầu (S') có cùng bán kính với mặt cầu (S). Đáp số: a) Tâm của mặt cầu (S) là I(2; 0; -2). b) Phương trình mặt cầu (S) là \((x-2)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 9\). c) Điểm M(0; 1; -5) không nằm trong mặt cầu (S). d) Mặt cầu (S') có cùng bán kính với mặt cầu (S).